Mostrar un subconjunto de a $C([0,1])$ es compacto.

Question

Vamos $${\cal F}=\left\{ f:\left[0,1\right]\to\mathbb{R} : \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le\left|x-y\right|\mbox{ and }{\displaystyle \int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=1}\right\}.$$ Show that ${\cal F}$ is a compact subset of $C\left(\left[0,1\right]\right)$.

Cuando estoy tratando de mostrar un conjunto es compacto, yo por lo general recurren a la apertura de la tapa tiene un número finito de subcover definición. Pero si este caso, estamos tratando con funciones. Así que estoy teniendo dificultad en "visualizar" lo que está pasando. Cualquier ayuda o soluciones se agradece.

Edit: debo mencionar que estamos trabajando con respecto a la sup de la norma.

Answer 1

De acuerdo a Arzelà–Ascoli teorema usted sólo tiene que demostrar que $\mathcal F$ es

• equicontinuous, es decir,$(\forall x\in[0,1])(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall f\in\mathcal F) (\forall y) |y-x|<\delta \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon$;
• pointwise delimitada;
• cerrado en $C[0,1]$.

Ambos equicontinuity y pointwise acotamiento seguir a partir de la condición de Lipschitz $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$.

Para mostrar pointwise acotamiento usted puede notar que la $|f(x)-f(0)|\le |x|=x$, lo que significa que $$f(0)-x \le f(x) \le f(0)+x.$$ Si aplica la integral de la $\int_0^1$ a la izquierda de la desigualdad, consigue $f(0)\le\int_0^1 (x+f(x))\,\mathrm{d}x=\frac32$. Ahora, la derecha de la desigualdad implica $f(x)\le \frac52$ por cada $x$. (Gracias a Nate Eldredge, quien señaló en su comentario, que eso era falta en mi respuesta original.)

Para mostrar que es cerrado en sup-norma, usted sólo tiene que demostrar que si $f_n$ converge a $f$ uniforme y $f_n\in\mathcal F$, entonces el límite es de $\mathcal F$. Sabemos que la integral se comporta bien w.r.t. convergencia uniforme, ver a esta pregunta. La prueba de que el hecho de que la condición de $(\forall x,y\in [0,1])|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ es conservado por la convergencia uniforme es más o menos estándar. (De hecho, en esta parte sólo utilizamos pointwise convergencia.)