Orden de los elementos de un grupo abeliano finito

Question

Supongamos que $G$ es un grupo abeliano finito y que $x, y \in G$ son de órdenes $a$ y $b$ respectivamente.

Intento demostrar que existen dos elementos $x'$ y $y'$ de pedidos $a'$ y $b'$ tal que

1. $a'b'=lcm(a,b)$ y

2. $gcd(a',b')=1$ .

Bueno, lo primero que me viene a la mente es esto $x'=x^{\frac{a}{a'}}$ y $y'=y^{\frac{b}{b'}}$ . Así que para asegurarse de que es la respuesta, primero tengo que demostrar que $a$ y $b$ son respectivamente divisibles por $a'$ y $b'$ pero para (1) y (2) no tengo ni idea. Por favor, ¿puede ayudarme a resolver esto?

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que si $gcd(a,b) = 1$ , entonces has terminado y $x = x'$ , $y = y'$ . Si no, que $gcd(a,b) = k$ y elija $x' = x^k$ , $ y' = y$ . Las órdenes de $x'$ y $y'$ respectivamente son $\frac{a}{k}$ y $b$ .

Desde $lcm(a,b) gcd(a,b) = ab$ tenemos $lcm(a,b) = \frac{a}{k} b = a' b'$ como se desee. También sabemos $gcd(a',b') = 1$ ya que $k = gcd(a,b)$ se dividió de $a$ .