¿Cómo puedo visualizar el elemento no trivial de $\pi_4(S^3)$ y $\pi_5(S^3)$ ?

Question

He leído en los libros de texto que el generador no trivial $\eta_n$ de $\pi_{n+1}(S^n)$ es la suspensión del mapa de Hopf $S^3\to S^2$ y el generador $\chi$ de $\pi_5(S^3)$ viene dada por $\eta_3 \circ \eta_4$ . Bien.

Mi pregunta es, ¿cómo puedo visualizarlos? ¿Hay alguna forma explícita de describir estos mapas $\eta_3$ y $\eta_3\circ \eta_4$ ? ¿Qué tal el generador de $\pi_6(S^3)$ ?

(Otras preguntas sobre MO parecen más serias. Espero que esta pregunta no esté fuera de lugar...)

EDIT: cualquier persona con un conocimiento rudimentario de la teoría básica de la homotopía diría $\eta$ y $\eta\circ\eta$ son lo suficientemente explícitos, pero no puedo visualizar la suspensión. Me conformaría con una buena descripción de $SU(2)$ paquetes sobre $S^n$ ...ya que mi primer contacto con la homotopía es a través de la teoría cuántica de campos...

Nueva edición: Gracias a todos por las respuestas, casi me inclino por aceptar la respuesta de Per, pero aún no estoy satisfecho :p

Answer 1

A través de la construcción Pontrjagin-Thom, un marco $n-k$ colector en $S^n$ determina un mapa de $S^n$ a $S^{n-k}$ . $\eta$ está representado por $S^1$ en $S^3$ con un encuadre que "se retuerce una vez". La suspensión de $\eta$ está representado por $S^1$ en $S^4$ que se encuentra en la zona ecuatorial $S^3$ con el encuadramiento que es producto de este encuadramiento de "giro de una vez" dentro de $S^3$ y el encuadre trivial en la dirección normal, etc.

El compuesto está representado por un $S^1 \times S^1$ con un encuadre que es "girar una vez" en cada factor.

Answer 2

Lo principal que hay que visualizar es la fibración de Hopf de $S^2$ sus suspensiones y sus diversas composiciones.

Dejemos que $f \colon S^3 \to S^2$ sea la fibración de Hopf.

Cuando se suspende $f$ para conseguir $g \colon S^4 \to S^3$ En este caso, se incrusta una 2-esfera como el ecuador de una 3-esfera y se extiende el mapeo en paralelo a las 2-esferas de latitud. Por lo tanto, lejos de los polos todavía tienes círculos como preimágenes.

Puede ver que $f$ y $g$ componer para dar un mapa $h \colon S^4 \to S^2$ . Para tener una idea de cómo se ve esto como una fibración, se puede trabajar hacia atrás. Primero, la preimagen de un punto en $S^2$ sous $f$ es un círculo en $S^3$ . Como se ha señalado anteriormente, cada preimagen puntual de este círculo bajo la suspensión $g$ es de nuevo genéricamente un círculo. Cuando los diferentes círculos encajan limpiamente, parece que se obtiene una fibración de toros, en la que los toros se retuercen y entrelazan dentro de cada 3-esfera latitudinal de $S^4$ de forma análoga al mallado de círculos en $S^3$ para la fibración de Hopf. Si ahora se suspende esta situación, se obtiene una fibración de toro sobre $S^3$ que parece $h$ dentro de cada 2 esferas de latitud.

(Todavía no estoy contento con esta descripción, pero he decidido publicarla con la esperanza de que pueda suscitar algunas ideas).

Answer 3

(Esto es un poco tarde, pero espero que lo encuentres interesante)

Aquí está la representación suave del generador de $\pi_4(Sp(1))$ (y por tanto el mismo grupo de homotopía de $S^3$ y $SU(2)$ ). Considere $S^4 = \mathbb{HP}^1$ et $Sp(1)$ la esfera de la unidad en $\mathbb{H}$ . Entonces la siguiente función $t\colon \mathbb{HP}^4 \to Sp(1)$ representa la clase de homotopía no trivial $S^4 \to S^3$ : $$ t[p;q] = \frac{2p\bar{q}i\bar{p}q - |p|^4 + |q|^4}{|p|^4 + |q|^4} $$ donde [p;q] son coordenadas homogéneas en $\mathbb{HP}^4$ . No sé si esto ha aparecido anteriormente (¡me encantaría saberlo!), pero lo presenté como parte de algunas diapositivas en la conferencia anual de la Sociedad Matemática Australiana el año pasado (ver diapositiva 6), y originalmente lo elaboró con una indicación de Michael Murray sobre la fibración de Hopf descrita usando cuaterniones (es decir, $Sp(1) \to S(Im\mathbb{H})$ la esfera unitaria en los imaginarios puros). Que este mapa es el generador (es decir, no es nulo-homotópico) lo he calculado siguiendo la respuesta a mi pregunta Detección de la no trivialidad de un elemento en un grupo de homotopía de torsión .

Obsérvese que esta función seguida de la inclusión $Sp(1) \hookrightarrow Sp(2)$ (como la entrada superior izquierda) es el generador de $\pi_4(Sp(2))$ (por los resultados de Mimura y Toda). Y así también obtenemos un representante para el generador de $\pi_4$ de $Spin(5) = Sp(2)$ .

Answer 4

Puedes leer algo de John Baez

http://math.ucr.edu/home/baez/week102.html

que contiene exactamente su respuesta :-)

Answer 5

$S^3$ es isomorfo a $SO(3)$ que es un grupo de Lie real y por lo tanto es un triplete real diferenciable y orientado, que tiene la doble cobertura por $SU(2)$ que es la cobertura universal de $SO(3)$ o exponencial de $su(2)$ . Los términos de mayor dimensión provienen del teorema de periodicidad de Bott. Esta es la explicación de la QFT.

En otras palabras, gracias a la estructura del complejo, tenemos una triangulación (aproximación por el complejo CW (célula) uniendo varias células n-dimensinales $e^n$ a un conjunto de puntos ${0}$ y los axiomas de Eilenberg-Steenrod de la homología singular de coeficiente integral [con módulo de torsión]). Entonces el libro de texto de la teoría de Chern-Weil de la clase característica o alguna foliación clásica (torre de Postnikov de la fibración) puede decir que hay una $E_2$ secuencia espectral del doble complejo [véase Bott-Tu GTM82, P.251-252] que es computable por secuencia exacta. Esta es la respuesta de la topología algebraica (espacio no simplemente conectado).