Cálculo de la cohomología sobre curva proyectiva en $\mathbf{P}^3$

Question

Que sea $k$ un campo algebraicamente cerrado y Sea $X\subseteq \mathbf{P}^3:=\mathbf{P}_k^3$ una curva suave e irreducible que no está contenida en ningún hiperplano. Llamemos $d=\deg(X)$ .

Un conocido teorema de Gruson, Lazarsfeld y Peskine afirma que dicha curva es $d-(3-1)+1=d-1$ -regular, es decir $$H^p(\mathbf{P}^3,\mathscr{I}_X(d-1-p))=0$$ para todos $p>0$ . Ahora, algunos cálculos sencillos sobre esta definición nos muestran que esto se reduce a las siguientes condiciones: $$H^1(\mathbf{P}^3,\mathscr{I}_X(d-2))=0,\,\,\,H^1(\mathbf{P}^3,\mathscr{O}_X(d-3))=0$$

Ahora la pregunta en sí. Me gustaría demostrar que el teorema se cumple sin utilizarlo, pero estoy un poco aturdido. Necesito en particular los casos de una curva de intersección completa y una curva racional de grado $3$ .

Por ejemplo, si escribe $X=F_1\cap F_2$ como intersección completa de hipersuperficies $F_1,F_2$ de grado $d_1,d_2$ respectivamente, entonces el complejo de Koszul (también conocido como complejo de Hilbert-Burch) resuelve el ideal de $X$ : $$0\to \mathscr O_{\mathbf{P}^3}(-d_1-d_2)\to \mathscr O_{\mathbf{R}^3}(-d_1)\oplus \mathscr O_{\mathbf{R}^3}(-d_1)\to \mathscr{I}_X\to 0$$ Pasando a la secuencia de cohomología, esto debería implicar $H^1(\mathbf{P}^3,\mathscr{I}_X(s))=0$ para todos $s$ No estoy seguro de que esto sea del todo correcto.

En cuanto a la otra condición, podemos calcular el haz canónico $$\omega_X=\omega_{\mathbb{P}^3}(+d_1+d_2)=\omega_{\mathbb{P}^3}(d_1+d_2-4)$$ así que cuando $s\geq d_1+d_2-3$ tenemos $H^1(\mathscr{O}_X(s))=0$ con seguridad. Entonces la desigualdad $d=d_1d_2\geq d_1+d_2-1$ muestra la segunda condición.

¿Puede alguien ayudarme a entender mejor estos cálculos? ¿Cómo debo proceder para obtener un resultado similar en el caso de una curva racional de grado $3$ ?

Answer 1

Tus cálculos en el caso de la intersección completa son correctos, sólo quiero señalar que puedes trabajar sólo con el complejo de Koszul, utilizando la primera definición de regularidad.

Cuando $X$ es la curva normal racional de grado $3$ podemos proceder así: podemos mirar $X$ como la incrustación de $\mathbb{P}^1$ inducido por el sistema lineal completo $\left|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3)\right|$ y luego tenemos las identificaciones $H^i(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}_{X}(d)) = H^i(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3d))$ . En particular $$H^1(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}_X(d-3)) = H^1(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}_X) = H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=0$$ . Para la otra condición, considere la secuencia exacta de las láminas $$ 0 \to \mathscr{I}_X(1) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to \mathcal{O}_X(1) \to 0 $$ tomando la cohomología obtenemos la secuencia exacta $$ H^0(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)) \to H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3)) \to H^1(\mathscr{I}_X(1)) \to 0 $$ Sin embargo, el mapa $H^0(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)) \to H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3))$ es un isomorfismo, ya que $X$ es la incrustación de $\mathbb{P}^1$ por el sistema lineal completo $\left| \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3) \right|$ para que $H^1(\mathscr{I}_X(1))=0$