Para una secuencia exacta conmutativa demuestre que $V_1$ y $V_3$ son de dimensión finita si $V_2$ y $V_4$ también lo son.

Question

Para la siguiente secuencia exacta conmutativa: \begin{array}\\ &V_1 & \stackrel{A_1}{\longrightarrow} & V_2\\ & \uparrow_{A_4} &&\downarrow _{A_2}\\ &V_4 & \stackrel{A_3}{\longleftarrow} & V_3 \end{array} Dejemos que $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ , $V_4$ sean espacios vectoriales y $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ sea un homomorfismo. Demuestre que $V_1$ y $V_3$ son de dimensión finita si y sólo si $V_2$ y $V_4$ también lo son.

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Como el diagrama es exacto y conmutativo, se puede decir sombrero: \begin{array}\\ \ker(A_1) = \operatorname{Im}(A_4) & \ker(A_2) = \operatorname{Im}(A_1) \\ \ker(A_3) = \operatorname{Im}(A_2) & \ker(A_4) = \operatorname{Im}(A_3) \end{array} Además, si $V_1$ y $V_3$ son de dimensión finita, entonces: \begin{array}\\ \dim(V_1)&=\dim(\ker(A_1))+ \dim(\operatorname{Im}(A_1))\\ \dim(V_3)&=\dim(\ker(A_3))+ \dim(\operatorname{Im}(A_3)) \end{array}

No sé qué debo hacer ahora. Les agradecería mucho sus respuestas.

Answer 1

Sugerencia

La secuencia corta exacta $\;0\longrightarrow \ker A_2\longrightarrow V_2\longrightarrow \operatorname{Im}A_2\longrightarrow 0$ se divide ya que tenemos espacios vectoriales. Ahora $\ker A_2\simeq \operatorname{Im}A_1$ que es de dimensión finita, y análogamente $ \operatorname{Im}A_2\simeq\ker A_3$ que también es de dimensión finita.

¿Puedes seguir a partir de ahí?