Problema de valor inicial: existencia

Question

Estoy pensando en el siguiente problema de valor inicial: $$\tag{1}u'''-u^{\frac{8}{3}}u'-3u^{\frac{11}{3}}=0$$ con las condiciones iniciales: $$\tag{2}u(0)=u'(0)=u''(0)=1.$$ Me gustaría mostrar que uno puede resolver tal problema de valor inicial localmente.

Mi idea es utilizar Teorema de Cauchy-Kowalevski : Si dejamos que $F(t,x_1,x_2)=x_1^{\frac{8}{3}}x_2-3x_1^{\frac{11}{3}}$ entonces $F$ es analítico cerca de $(t,x_1,x_2)=(0,1,1)$ . Por lo tanto, se deduce del teorema de Cauchy-Kowalevski que existe una solución analítica $u(t)$ a $u'''=F(t,u,u')$ . Mi pregunta es: me pregunto si mi prueba es correcta. Otra pregunta es: dado que sólo busco una solución suave, ¿hay alguna otra prueba que demuestre la existencia de una solución suave? Gracias.

Answer 1

Sí, tu prueba es correcta y muestra la existencia de una solución analítica local. También puedes aplicar el teorema de Picard-Lindelöf, ya que $u^{8/3}u'+3u^{11/3}$ es continua en función de $t$ y Lipschitz en función de $u$ , $u'$ y $u''$ en una zona de $(t=0,u=1,u'=1,u''=1)$ .