La pregunta se plantea como: Si $\emptyset \neq A \subseteq P$ y $A$ está acotado por encima (es decir $(\exists w)(\forall u)(u \in A \Rightarrow u \leq w)$ entonces $A$ tiene un elemento mayor.
Aquí se supone un Sistema Peano estándar $(P,S,1)$ , donde $P=\mathbb{N}$ , $S(x)=x+1$ y " $1$ " es el número natural uno.
Aquí está mi intento:
Dejemos que $B = \{w : (\forall u)(u \in A \Rightarrow u \leq w)\}$ por lo tanto, por suposición $B$ es un subconjunto no vacío de $P$ Por lo tanto, por el Principio del Número Mínimo, tenemos $(\exists z)(z \in B \land (\forall u)(u \in B \Rightarrow z \leq u))$ .
Si tomamos $z$ el menor elemento de $B$ tenemos que $(\forall u)(u \in A \Rightarrow u \leq z)$ por lo que para cualquier $u \in A$ tenemos $u=z \lor u < z$ Primero, si tenemos algo de $u=z$ tenemos que $z$ es el mayor elemento de $A$ ya que si no es el caso, tendremos que existe otro elemento en $e \in A$ donde $z<p$ lo cual es una contradicción porque cualquier elemento en $A$ son menores o iguales a $z$ .
Pero si nadie $u$ sur $A$ es igual a $z$ como hemos $(\forall u)(u \in A \Rightarrow u < z)$ tenemos también que $(\forall u)(u \in A \Rightarrow S(u) <=z)$ . Primero si $S(u) < z$ tenemos $S(u) \in A$ y por lo tanto $u<S(u)$ Por lo tanto $u$ no es el mayor elemento de $A$ pero si $S(u)=z$ tenemos que $S(u) \notin A$ y $u$ es el mayor elemento de $A$ ya que no hay ningún elemento entre un elemento y su propio sucesor, y como $z=S(u) \in B$ no hay ningún elemento más grande que $u$ que puede pertenecer a $A$ .
