Demuestra que $\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac n{n^2+k^2}=\frac \pi 4$

Question

Mi trabajo: $$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac n{n^2+k^2}$$ $$\lim_{n\to \infty} n\sum_{k=1}^n \frac 1{n^2+k^2}$$ $$\lim_{n\to \infty} n(\frac1{n^2+1^2}+\frac1{n^2+2^2}+\frac1{n^2+3^2}+...+\frac1{n^2+(n-1)^2}+\frac1{2n^2})$$

No estoy muy seguro de dónde proceder a partir de aquí, o si esto es incluso la dirección correcta que debo tomar este problema. Mi clase de análisis matemático ha cubierto hasta las integrales de Riemann, pero no estoy seguro de que vayan a ser totalmente útiles en este caso.

Answer 1

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k\to1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$$ $$=\lim_{n\to\infty}\sum_{k\to1}^{n}\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}\frac{1}{n}$$ $$=\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx$$ $$=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$$

Answer 2

$$\sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$$

Así que $$ \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \int\limits_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}$$