¿Hacer un espacio vectorial de dimensión incontable a partir de polinomios?

Question

Sabemos que el conjunto de todos los polinomios $a + bx + cx^2 +...$ forma un espacio vectorial de dimensión contablemente infinita.

Sin embargo, ¿qué pasa si queremos formar un espacio vectorial a partir de $f(x)=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ con $\alpha \in \mathbb R$ .

Sería el conjunto de funciones polinómicas con polinomios que tienen todos los exponentes dentro de un intervalo.

Podríamos entonces definir una función real $c(x)$ que da los valores de los coeficientes de los polinomios.

Por ejemplo, si $c(\pi)=6$ entonces $f(x) = 6\cdot x^\pi + \sum_{\alpha \neq \pi}c_\alpha x^\alpha$ y así sucesivamente.

• ¿Funciona bien?
• ¿Se ha hecho esto antes?
• ¿Hay aplicaciones o resultados interesantes de esto?

Answer 1

Existe el campo de los (formales) Serie Hahn . El truco para una definición fructífera es que hay que restringir el número de coeficientes no nulos que se tienen, para poder definir la multiplicación por

$$ \left( \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha \right) \left( \sum_\beta d_\beta x^\beta\right) = \sum_{\mu} \left( \sum_\nu c_\nu d_{\mu - \nu}\right) x^\mu $$

El problema para tener una buena definición es que todas las sumas

$$ \sum_\nu c_\nu d_{\mu - \nu} $$

para estar bien definidos. La definición de la serie de Hahn lo arregla de manera que se garantiza que esta suma sólo tiene un número finito de términos no nulos, de manera que se puede definir la suma incontable como la suma de esos términos finitos.

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Por supuesto, puedes lograr tus objetivos sin ser tan audaz: puedes considerar el anillo que obtienes al exigir que una serie tenga sólo un número finito de coeficientes no nulos.

El resultado de esto es claramente un espacio vectorial con una base indexada por el conjunto de posibles exponentes. Si tomas los exponentes en los reales como sugieres, será incontablemente infinitamente dimensional.

Answer 2

Esto está perfectamente bien: Permítanme hacer un espacio vectorial dimensional incontable que es más natural (en el sentido de que los elementos son realmente funciones familiares de valor real que pueden ser evaluadas).

Dejemos que $V$ sea el conjunto de funciones de valor real que están definidas en toda la recta real excepto (un subconjunto finito no especificado). (Se permite que este conjunto donde está indefinido varíe con cada función).

Es evidente que se trata de un espacio vectorial.

Para un número real dado $\alpha$ considere la función $f(x)= \frac1{x-\alpha}$ está definida en toda la recta real excepto en $\alpha$ . Para cualquier conjunto de números reales distintos $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ las funciones correspondientes $1/(x-\alpha_1), 1/(x-\alpha_2),\ldots,1/(x-\alpha_n)$ se comprueba fácilmente que son elementos linealmente independientes de $V$ . Así, $V$ es un espacio vectorial de dimensiones incontables. (Esto ha sido considerado por Kaplansky en su demostración del Nullstellensatz de Hilbert. Ver ALGEBRA de Artin).