Cuál es la suma de los coeficientes de los términos que contienen $x^2t^3$ en la expansión dada.

Question

Se da que $(x^2 +y +2t +3k)^{10}$ . ¿Cuál es la suma de los coeficientes de los términos que contienen $x^2t^3$ en la expansión dada. Por ejemplo, los términos son $x^2y^4t^3k^2$ etc.

Dije que dejaran $(x^2 +2t)$ sea $"a"$ y $(y +3k)$ sea $"b"$ . Entonces, $(x^2 +y +2t +3k)^{10}=(a+b)^{10}$ .

Si buscamos $x^2t^3$ entonces el exponencial de $a$ debe ser $4$ . Entonces, el exponencial de $b$ es $6$ .

Entonces, el coeficiente de $x^2t^3$ es $4 \times 2^3=32$ . Ahora, tenemos $(y +3k)^6$ como $b$ . Si encontramos la suma de todos los coeficientes en $(y +3k)^6$ Podemos manejar la pregunta.

La suma de todos los coeficientes en $(y +3k)^6$ es $4^6$ .

Entonces, la respuesta es $32 \times 4^6$

¿Es correcta mi solución?

Answer 1

Siguiendo el enfoque de OPs de manera algo más formal obtenemos \begin{align*} \color{blue}{[x^2t^3]}&\color{blue}{\left(\left(x^2+2t\right)+(y+3k)\right)^{10}}\\ &=[x^2t^3]\sum_{q=0}^{10}\binom{10}{q}\left(x^2+2t\right)^q\left(y+3k\right)^{10-q}\\ &=\sum_{q=0}^{10}\binom{10}{q}\left([x^2t^3]\sum_{r=0}^q\binom{q}{r}x^{2r}(2t)^{q-r}\right)(y+3k)^{10-q}\tag{1}\\ &=\binom{10}{4}\binom{4}{1}2^3(y+3k)^6\\ &\,\,\color{blue}{=6\,720\cdot(y+3k)^6}\tag{2} \end{align*}

Vemos en (1) que para seleccionar el coeficiente de $x^2$ y $t^3$ tenemos que elegir $r=1$ y $q=4$ . Evaluando (2) en $y=1$ y $k=1$ obtenemos \begin{align*} \color{blue}{6\,720\cdot4^6} \end{align*}

Answer 2

Aquí tienes una pista para simplificar el cálculo. Supongamos que se expande completamente $(x^2+y+2t+3k)^{10}$ y, a continuación, eliminar todos los términos excepto los que contengan $x^2 t$ . Lo que resulta es una expresión de la forma

$$ax^2 t+bk x^2 t+cy x^2 t+dk^2 x^2 t+\cdots=(a+bk+cy+dk^2+\cdots)x^2 t$$

La suma de estos coeficientes da como resultado $a+b+c +d+\cdots$ .

¿Cuál es la relación entre esta suma y el polinomio en $y,k$ escrito arriba? (Esto reduce el problema a encontrar el coeficiente de $x^2 t$ en algún polinomio en $x,t$ .)

Answer 3

Como alternativa, podemos utilizar la fórmula de expansión multinomial: $$(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n=\sum_{i_1+i_2+\cdots +i_m=n} {n\choose i_1,i_2,...,i_m} \prod_{t=1}^m x_t^{i_t}, \\ \quad \text{where} \quad {n\choose i_1,i_2,...,i_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}\\ $$ $$ (x^2 +y +2t +3k)^{10}=\sum_{i_1+i_2+i_3+i_4=10} {10\choose i_1,i_2,i_3,i_4} x^{2i_1}y^{i_2}(2t)^{i_3}(3k)^{i_4}$$ Queremos tener $i_1=1,i_3=3$ : $$2^33^6{10\choose 1,0,3,6}+2^33^5{10\choose 1,1,3,5}+2^33^4{10\choose 1,2,3,4}+\\ 2^33^3{10\choose 1,3,3,3}+2^33^2{10\choose 1,4,3,2}+2^33^1{10\choose 1,5,3,1}+2^3{10\choose 1,6,3,0}= \\ 2^3\cdot \left[\frac{10!}{3!6!}(3^6+1)+\frac{10!}{3!5!}(3^5+3)+\frac{10!}{2!3!4!}(3^4+3^2)+3^3\frac{10!}{3!3!3!}\right]=\\ 2^3\cdot \left[613,200+1,239,840+1,134,000+453,600\right]=\\ 27,525,120.$$