¿Cae un poste vertical largo a una velocidad diferente que un poste vertical corto?

Question

La fórmula para un objeto que cae tiene $r^2$ en el denominador. Esto significaría que un objeto que está más alto cae más lentamente que el estándar $9.807\ \mathrm{m/s^2}$ que nos enseñan en el instituto.

¿Qué pasaría si tomáramos en $1$ metro y un poste de $10$ metro hasta una altura de $100$ metros para la parte inferior de ambos postes, y luego los dejó caer? Supongamos que están lastrados en la parte inferior para que ambos permanezcan verticales, y que el $10$ El poste de un metro es hueco, por lo que ambos pesan lo mismo. ¿Golpearían el suelo simultáneamente o no?

Answer 1

Sí. Como se describe en las preguntas, hay una diferencia muy pequeña entre la aceleración de los dos polos, siendo el más corto el que acelera más rápido.

La diferencia

La fuerza gravitatoria que actúa sobre un poste es $$F = \frac{GMm}{r^2},$$ donde $M$ es la masa de la Tierra, $m$ es la masa del polo, y $r$ es la separación entre el centro de masa (CdM) de la Tierra y el CdM del polo. Despreciando la resistencia del aire y el efecto gravitatorio de un polo sobre el otro, la aceleración de un polo es $$a = F/m = \frac{GM}{r^2}.$$ Las masas de los polos no importan. Pueden ser diferentes o iguales.

Si los dos polos tienen longitudes diferentes, $L > \ell$ entonces sus CdMs estarán a diferentes distancias del CdM de la tierra. Definamos $R$ como la distancia desde el CdM de la Tierra hasta el fondo de las urnas, que están a la misma altura. Suponiendo que los polos son uniformes $$r_\ell = R + \ell/2 \quad\text{and}\quad r_L= R + L/2.$$

El poste más corto experimentará una mayor aceleración.

$$ a_\ell = \frac{GM}{(R + \ell/2)^2} \quad > \quad a_L = \frac{GM}{(R + L/2)^2}$$

¿Cuál es la diferencia?

Para saber cuánto más grande, podemos hacer una expansión de primer orden de las dos aceleraciones y observar la diferencia. $$a_L = \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{(R + L/2)^2} = \frac{GM}{R^2(1+\frac{L}{2R})^2} = \frac{GM}{R^2}\left(1 + \frac{L}{2R}\right)^{-2}\approx \frac{GM}{R^2}\left(1 - 2 \frac{L}{2R}\right)$$

Personalmente encuentro la diferencia fraccionaria $\frac{\Delta a}{a}$ para ser más esclarecedor que el absoluto. Así que vamos a ver eso dividiendo el común $GM/R^2$ poco. $$\frac{\Delta a}{a} \approx \frac{a_\ell - a_L}{GM/R^2} \approx (1- \ell/R) - (1-L/R) = \frac{L-\ell}{R}$$

El radio de la Tierra es de aproximadamente $6\times 10^6$ m, así que estamos viendo diferencias de partes por millón en las aceleraciones de los dos polos.

Answer 2

Paul T. ofrece una buena respuesta en el caso de que la altura de los fondos de los postes sea la misma (que es lo que se pedía en la pregunta). La principal diferencia en ese caso se debe a las diferentes alturas de los centros de masa de las dos varillas.

Sin embargo, te preguntarás, ¿y si los centros de masa de las dos varillas estuvieran a la misma altura, seguiría habiendo diferencia? Resulta que la habrá, aunque la diferencia es aún menor.

Dejemos que $m$ y $l$ sean la masa y la longitud de una varilla vertical de densidad uniforme, y $r$ la altura de su centro del centro del planeta. La masa del planeta es $M$ . Consideremos un pequeño trozo de la varilla, de masa $\delta m$ y la distancia $x$ desde el centro de la varilla (así $x$ está entre $-l/2$ y $+l/2$ ). La fuerza de la gravedad sobre la pequeña pieza es:

$$\delta F=\frac{GM\delta m}{(r+x)^2}$$

La fuerza total sobre la varilla es la integral de $\delta F$ sobre toda la masa:

$$F=\int\frac{GM}{(r+x)^2}dm$$

La masa de la pieza pequeña es proporcional a su longitud ( $m/l=\delta m/\delta x$ ) por lo que podemos sustituir $dx$ para $dm$ con la escala adecuada:

$$F=\int_{-l/2}^{+l/2}\frac{GM}{(r+x)^2}\left(\frac{m}{l}dx\right)$$

Haciendo la integral se obtiene:

$$\begin{align} F&=-\frac{GMm}{l}\left.\frac{1}{r+x}\right|_{x=-l/2}^{+l/2} \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{1}{r+l/2}-\frac{1}{r-l/2}\right) \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{(r-l/2)-(r+l/2)}{(r+l/2)(r-l/2)}\right) \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{-l}{r^2-(l/2)^2}\right) \\ &= \frac{GMm}{r^2-(l/2)^2} \end{align}$$

Este es casi el mismo valor que si la masa de la varilla se concentrara en su centro (en cuyo caso sería sólo $GMm/r^2$ ). Al igual que Paul T., veamos la diferencia relativa:

$$ \frac{\frac{GMm}{r^2-(l/2)^2}-\frac{GMm}{r^2}}{\frac{GMm}{r^2}} = \frac{(r^2)-(r^2-(l/2)^2)}{r^2-(l/2)^2} = \frac{(l/2)^2}{r^2-(l/2)^2} \approx \left(\frac{l}{2r}\right)^2 $$

Compárese con el caso en el que medimos $r$ desde el extremo del poste, donde la diferencia relativa (entre una varilla y un punto) era sólo $l/r$ . Si el caso final tenía una diferencia de una parte por millón, el caso central tendrá una diferencia de menos de una parte por trillón.

Answer 3

Suponiendo (razonablemente) que ambos objetos son rígidos (no sufren ninguna deformación bajo la influencia de la gravedad) entonces en la Ley:

$$F=G\frac{mM}{r^2}$$

$r$ se refiere a la distancia entre el centro de gravedad (CoG) del objeto y el CoG de la Tierra.

Entonces, suponiendo que las CoGs de ambos objetos tienen la misma masa y están a la misma altura sobre la Tierra (en el inicio de su caída libre), el resultado $F$ son iguales.

¿Golpearían el suelo simultáneamente o de otra manera?

En esas circunstancias, lo primero sería cierto.

Answer 4

Sí, la aceleración es ligeramente diferente, como han dicho otros, lo que hace que el poste más largo llegue un poco más tarde. (Es la ubicación del centro de masa la que determina la aceleración).

Un efecto interesante relacionado: los polos se ponen en tensión debido a la diferente atracción gravitatoria de sus dos extremos. El ejemplo más extremo es la "espaguetización" que se predice que se produce cuando las cosas caen hacia el centro de un agujero negro.

Answer 5

Ok, no hay aire. También simplifico los efectos de las mareas (los polos no son en ningún sentido esféricos). La atracción mutua entre los polos, así como el movimiento de la Tierra hacia ellos se supone despreciable (no es que cambie la respuesta).

Aparte de eso, la pértiga de 10 metros tiene su centro de masa 4,5 metros más alto, por lo que tiene algo menos de gravedad y menos aceleración.

Como ambos postes tienen que recorrer 100 m (igual distancia), el de 10 m llegará más tarde.