Número de elementos en un conjunto de n-ésimas raíces de la unidad

Question

Estoy confundido sobre el número de raíces nth de la unidad porque sé que el conjunto de raíces nth de la unidad es un grupo abeliano finito pero en algún lugar leí que para algún n ,este es un grupo infinito. Por favor, dígame sobre estos casos y si n pertenece a $\Bbb N$ o $\Bbb Z$

Answer 1

No queda muy claro por su redacción a cuál de estos dos casos se refiere.

Caso 1. Para un determinado $n \in \mathbb{N}$ , considere el conjunto de $n^\text{th}$ raíces de la unidad bajo la operación de multiplicación. Esto forma un grupo abeliano con $n$ elementos. Por ejemplo, si $n = 4$ entonces se tiene el grupo abeliano finito (de cuatro elementos) $\{1, -1, i, -i\}$ bajo la multiplicación.

Caso 2. Consideremos el conjunto de todas las raíces de la unidad bajo la operación de multiplicación. De nuevo, esto forma un grupo, pero tiene infinitos elementos. (Incluye la primera raíz de la unidad, la segunda raíz de la unidad, la tercera raíz de la unidad, etc.; esencialmente, es la unión de todos los grupos de este tipo descritos en el primer caso).

Answer 2

Las raíces n-ésimas de la unidad se entienden mejor utilizando la forma polar de los números complejos y la función exponencial. Las n-ésimas raíces son $e^{2\pi ik/n}$ con $k\in\mathbb{N}$ y $0\leq k<n$ . Geométricamente son los puntos de un n-gono regular en el círculo unitario en el plano complejo con $1$ como punto fijo. A partir de la forma polar podemos ver que multiplicando dos de ellos juntos se sumará el $k_1$ y $k_2$ componentes juntos, y reduciéndolos modulo $n$ nos dará la forma polar de otra raíz n-ésima de la unidad. Porque la multiplicación de los números complejos es conmutativa, $1$ es un miembro de la raíz n-ésima y $e^{2\pi i/n}$ genera el grupo es un grupo cíclico de orden $n$ . No hay $n$ para lo cual éste es un grupo infinito.

Sin embargo, todo el círculo unitario en el plano complejo forma un grupo y las raíces n-ésimas son un subgrupo. También puedo construir un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}$ tomando un número irracional $q$ y generando el grupo con $e^{2\pi iq}$ y su inversa. Tal vez estos sean los infinitos casos de los que has oído hablar.