¿Cuándo las ecuaciones paramétricas constituyen una línea?

Question

Las ecuaciones dadas específicamente son

$x=3t^3 + 7$
$y=2-t^3$
$z=5t^3 + 3$

Y

$x=5t^2-1$
$y=2t^2 + 3$
$z=1-t^2$

Answer 1

Para el primer caso, $r=(7,2,3)+t^3(3,-1,5)$ . Como $t$ varía a través de $\mathbb R$ , $t^3$ varía a través de $\mathbb R$ así que tenemos una línea.

Para el segundo caso, $r=(-1,3,1)+t^2(5,2,-1)$ . Como $t$ varía a través de $\mathbb R$ , $t^2$ varía a través de los reales no negativos, por lo que tenemos un rayo.

Answer 2

Hay varias maneras de ver esto. En primer lugar se puede resolver cada $t^3$ en términos de $x,y$ y $z$ y tener una línea en términos de su ecuación simétrica.

También puede volver a parametrizarlos haciendo la sustitución $u = t^3$ y puedes ver que debe ser una línea en ese caso.

Por cierto, la segunda ecuación es un rayo, no una línea. Esto se debe a que $t^2$ sólo toma valores positivos.