Método para encontrar una oportunidad de arbitraje cuando el precio de mercado de la compra es incorrecto

Question

La solución de la ecuación de Black-scholes es el precio de una call europea. Y el precio de la opción supone que la acción subyacente es un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma_{1}>0$ .

Supongamos, sin embargo, que el activo subyacente es realmente un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma_{2} > \sigma_{1}$ es decir \begin{equation} dS(t) = \alpha S(t)dt + \sigma_{2}S(t)dW(t). \end{equation}

En consecuencia, el precio de mercado de la llamada es incorrecto.

¿Podemos establecer una cartera que tenga una oportunidad de arbitraje en el mercado? Además, ¿existe algún método para generar una oportunidad de arbitraje en la cartera (cómo considerar este problema)?

Answer 1

Esta es una excelente pregunta. Sí se puede. Esto es básicamente el resultado llamado "El teorema fundamental del comercio de derivados" ver enlace . Suponemos que $$ dS(t) =S(t) (\alpha dt + \sigma_2 dW(t) ) $$ pero algún derivado tiene un precio de volatilidad implícita $\sigma_1<\sigma_2$ , supongamos que tiene una función de recompensa $h(S_T)$ y tiene valor $C_h(S_t,r,\sigma_2,t)=C(t,S_t)$ considerar una última $\hat{\sigma}^2$ es la volatilidad que utilizaremos para la cobertura y puede ser cualquiera de los dos o algo más. Supongamos que tenemos un tipo de interés constante $r$ . La función de precio derivada satisface la EDP de Black-Scholes $$ \frac{\partial C}{\partial t} + rs \frac{\partial C}{\partial s}+ 1/2 \sigma_2^2 s^2 \frac{\partial^2 C}{\partial s^2}- rC = 0 $$ y C(T,s) = h(s). Para que el argumento sea similar al de las estrategias de cobertura habituales, supondremos que vendemos el subyacente y lo cubrimos; de hecho, para disfrutar del arbitraje tenemos que invertir exactamente la estrategia descrita. Supongamos que vendemos el derivado y lo cubrimos con un delta utilizando $\hat{\sigma}$ mantendremos continuamente $\phi_t = \frac{\partial C}{\partial s}$ (determinado por la ecuación BS con $\hat{\sigma}^2$ ) del activo de riesgo y hacer que la cartera de cobertura se autofinancie en el libre de riesgo obtenemos $$ dX_t = \frac{\partial C}{\partial s}(S_t) dS_t + (X_t -\frac{\partial C}{\partial s}(S_t) \cdot S_t ) r dt $$ mientras que el proceso de precios reales $Y$ (Ito en C de BS satisface) $$ dY_t = \frac{\partial C}{\partial s} dS_t + (\frac{\partial C}{\partial t}(S_t) +1/2 \sigma_2^2 S_t^2 \frac{\partial^2 C}{\partial s^2}(S_t) )dt $$ por lo que el error de cobertura $Z = X - Y$ es (utilice la ecuación BS) $$ dZ_t = r X_t + 1/2 S_t^2 \frac{\partial^2 C}{\partial s^2}(S_t) (\hat{\sigma}^2-\sigma^2_2 ) dt $$ esto da como resultado que (resolverlo como una ecuación diferencial) $$ Z_T = X_T-h(S_T) = \int_0^T e^{r(T-s)} 1/2 S_t^2 \Gamma_t ^2 (\hat{\sigma}^2 -\sigma_2 ^2) dt $$ Obsérvese que todos los términos de la integral son positivos, por lo que si cubrimos utilizando $\hat{\sigma}=\sigma_1 <\sigma_2$ la posición (combinada) es libre pero seguramente perderá dinero, mientras que en el caso $\hat{\sigma}=\sigma_1$ la integral se cancela, pero la posición nos costará inicialmente dinero (iniciamos una réplica de un derivado más caro). Ergo invirtiendo la estrategia se obtiene un arbitraje :)