Cálculo del grupo de Galois de un polinomio cuártico

Question

Este es un problema de un examen global en mi universidad. Deja que $f(x)$ sea un polinomio cuaternario irreducible sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $L$ sea el campo de división de $f(x)$ . Supongamos que $\mathbb{Q}(\alpha) \cap \mathbb{Q}(\beta)=\mathbb{Q}$ para dos raíces distintas cualesquiera $\alpha$ y $\beta$ de $f(x)$ . Ahora quiero calcular el grupo de Galois.

Mi intento:

En primer lugar, como es irreducible, tiene que ser un subgrupo de $S_4$ . También tiene que ser un subgrupo transitivo de orden mayor que $4$ . Así que las únicas opciones son $S_4, A_4$ y $D_8$ . Ahora $\mathbb{Q}(\alpha) \cap \mathbb{Q}(\beta)=\mathbb{Q}$ implica que la red para el grupo debe contener el índice $4$ grupos tales que el único grupo que contiene dos cualesquiera es el grupo entero. Esto excluye $D_8$ . Ahora no estoy seguro de cómo proceder. Cualquier pista o sugerencia será bienvenida. Gracias.

Answer 1

Los grupos $S_4$ y $A_4$ son ambos $2$ -transitivo en los ceros de $f$ . Así que si $\Bbb Q(\alpha)\cap\Bbb Q(\beta)=\Bbb Q$ es válido para cualquier par de ceros distintos es válido para todos ellos. Por la correspondencia de Galois, $\text{Gal}(L/(\Bbb Q(\alpha)\cap\Bbb Q(\beta)))=\left<H_1,H_2\right>$ donde $L$ es el campo de división y $H_1$ y $H_2$ son los subgrupos de $G=\text{Gal}(L/\Bbb Q)$ correspondiente a $\Bbb Q(\alpha)$ y $\Bbb Q(\beta)$ . Podemos identificar $G$ con un grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ y $H_1$ y $H_2$ como los estabilizadores de $1$ y $2$ respectivamente. Así que la pregunta es ahora: ¿qué es $\left<H_1,H_2\right>$ cuando $G=S_4$ y cuando $G=A_4$ ?