Demuestra gráficamente que la ecuación de Lambert tiene exactamente cero, una o dos raíces

Question

Necesito ayuda para el siguiente problema.

Consideremos la ecuación de Lambert: $xe^x = a$ para valores reales de x y a

(a) Demuestra gráficamente que la ecuación tiene exactamente una raíz $ \xi(a) \ge 0 $ si $ a \ge 0$ exactamente dos raíces $ \xi_2(a) < \xi_1(a) < 0 $ si $ -1/e < a < 0 $ , una raíz doble $-1$ si $a=-1/e$ y no hay raíces si $ a < -1/e $

(b) Discuta el condicionamiento de $ \xi(a), \xi_1(a), \xi_2(a) $ cuando a varía en los intervalos anteriores

He intentado resolver las ecuaciones para cada a, pero no encuentro ningún punto para graficar, porque las soluciones de las ecuaciones están expresadas con la función W de Lambert

Answer 1

No resuelvas la ecuación. En su lugar, traza una imagen de $f(x):=xe^x$ para $x\in\mathbb R$ . ¿Dónde está $f(x)$ ¿positivo, negativo? Utiliza el cálculo para encontrar dónde $f(x)$ aumenta, disminuye. ¿Cuál es el comportamiento de $f(x)$ como $x\to\infty$ o $x\to-\infty$ ?

Una vez que haya trazado $y=f(x)$ y la intersección con la línea horizontal $y=a$ . Tenga en cuenta que $a=-1/e$ está relacionado con un valor crítico de $f$ .

Answer 2

Esta pregunta es en realidad muy fácil de resolver.

Usted está tratando de encontrar las raíces de $y=W(x)$ lo que equivale a $0=W(x)$$$ 0=W(x)\Na0e^0=x $$The solution is simply $ x=0$, la única raíz.