Los grupos de la clase de la normal de dominios sobre campos finitos

Question

Vamos a R a ser un local, dominio normal de la dimensión 2. Supongamos que R contiene un campo finito. Estoy interesado en saber cuando el grupo de clase de R es de torsión. En el carácter 0, esto es conocido por estar relacionado con R es un racional de la singularidad.

Lipman mostró que si X es un desingularization de Spec(R), entonces uno tiene una secuencia exacta:

$0 \to Pic^{0}(X) \to Cl(R) \to H $

Aquí $Pic^{0}(X)$ es numéricamente trivial parte del grupo de Picard de $X$, e $H$ es un grupo finito. Así, la segunda es de torsión si y sólo si el primero es. No tengo mucho conocimiento del primer grupo, por desgracia.

¿Alguien sabe una respuesta, o referencia a esto? ¿Alguien sabe un ejemplo de característica positiva tal que $Cl(R)$ no está de torsión? Muchas gracias.

Answer 1

Como se pide en los comentarios, he aquí un ejemplo de un local, lo normal $2$-dimensional de dominio de R en característica positiva tal que $\mathrm{Cl}(R)$ no está de torsión: seleccione una curva elíptica $E \subset \mathbf{P}^2$ sobre un campo $k$ tal que $E(k)$ no está de torsión, y tomar R a ser el anillo local en el origen de los afín de cono en $E$ (es decir, $R = k[x,y,z]/(f)_{(x,y,z)}$ donde $f$ es un homoegenous cúbicos definición de $E$). Esto puede ser hecho a lo largo de $k = \overline{\mathbf{F}_p(t)}$.

Prueba: La normalidad de la siguiente manera por el hecho de que R es una hipersuperficie de la singularidad (por lo tanto, incluso Gorenstein), aisladas y $2$-dimensiones (por lo tanto regular en codim 1). Soplando en el origen define un mapa de $f:X \to \mathrm{Spec}(R)$. Entonces, uno puede mostrar lo siguiente: $X$ es suave, y $X$ puede ser identificado con el Zariski de localización a lo largo de la sección cero del espacio total de la línea bundle $L = \mathcal{O}_{\mathbf{P^2}}(-1)|_E$ (estos son los hechos generales acerca de los conos). Por Lipman del teorema, es suficiente para mostrar que $\mathrm{Pic}^0(X)$ contiene no de torsión de los elementos. Como $X$ es fibrado sobre$E$, con una sección, el pullback $\mathrm{Pic}^0(E) \to \mathrm{Pic}^0(X)$ es un sumando directo. Como $\mathrm{Pic}^0(E) \simeq E(k)$ no tiene torsión de los elementos, por supuesto, también lo hace $\mathrm{Pic}^0(X)$.

También, un comentario adicional: En general, Lipman del teorema dice que $\mathrm{Cl}(R)$ es de torsión si y sólo si $\mathrm{Pic}^0(X)$ es de torsión. Ahora $\mathrm{Pic}(X) \simeq \lim_n \mathrm{Pic}(X_n)$ donde $X_n$ $n$- ésimo orden engrosamiento de la excepcional fibra $E$. Porque somos la voladura de un punto, la gavilla de los ideales de la $I$ definición de $E$ es amplio en $E$. El núcleo y cokernel de $\mathrm{Pic}(X_n) \to \mathrm{Pic}(X_{n-1})$ se identifican con $H^1(E,I|_E^{\otimes n+1})$$H^2(E,I|_E^{\otimes n+1})$. Como $I|_E$ es amplio, se deduce que el sistema de "$\lim_n \mathrm{Pic}(X_n)$" es el tiempo estable. Por lo tanto, $\mathrm{Pic}(X) \simeq \mathrm{Pic}(X_n)$ $n$ suficientemente grande. Como $X_n$ es una variedad, se sigue que, si estamos trabajando sobre un campo finito (resp. una clausura algebraica de un campo finito), a continuación, $\mathrm{Pic}^0(X)$ es finito (resp. ind-finito).

Answer 2

Recientemente he encontrado algunas referencias: Teorema 4.5 de este documento y el Teorema 4 + siguiente Corolario de este artículo que dice:

Si $(R,m,k)$ es un completo normal de dominio local de la dimensión $2$ tal que $k$ es la clausura algebraica de algunas campo finito, a continuación, $Cl(R)$ es de torsión!

Permanece abierto a lo que sucede en otras situaciones.