Escriba la fórmula utilizando formas diferenciales

Question

Dejar $\alpha, \beta \in C^2(\Omega)$ ser formas cero

Donde $\Omega$ es una superficie regular con límite $\partial{\Omega}$ . Tengo que escribir la siguiente fórmula utilizando formas diferenciales

\begin{equation} \int_{\Omega} \nabla\alpha \times \nabla \beta \ \cdot d\Omega = \int_{\partial{\Omega}} \alpha \nabla \beta \ \cdot dr \end{equation}

Lo que he hecho hasta ahora:

$\nabla \alpha = \frac{\partial \alpha}{\partial x }\hat{x}+\frac{\partial \alpha}{\partial y }\hat{y}+\frac{\partial \alpha}{\partial z }\hat{z}$

$\nabla \beta = \frac{\partial \beta}{\partial x }\hat{x}+\frac{\partial \beta}{\partial y }\hat{y}+\frac{\partial \beta}{\partial z }\hat{z}$

\begin{equation} \nabla \alpha \times \nabla \beta = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial \alpha}{\partial x } & \frac{\partial \alpha}{\partial y } & \frac{\partial \alpha}{\partial z } \\ \frac{\partial \beta}{\partial x } & \frac{\partial \beta}{\partial y } & \frac{\partial \beta}{\partial z } \end{vmatrix} = ( \frac{parcial \beta}{parcial z } \frac {parcial \alpha} {parcial y } - \frac {parcial \beta} {parcial y } \frac {parcial \alpha} {parcial z } ) \(frac, parcial, beta, parcial, z) \frac {parcial \alpha} {parcial x } - \frac {parcialmente \falta} {parcialmente z } \frac {parcial \beta} {parcial x } ) \hat{y} + (\frac {parcial \alpha} {parcial x } {frac {parcial \beta} {parcial y } - \frac {parcial \beta} {parcial x } {frac {parcial \alfa} {parcial y } )\N-que{z} \Fin de la ecuación

Pero estoy atascado, no sé cómo continuar. Tal vez $d\Omega = (dydz,dzdx,dxdy)$ , $dr = (dx,dy,dz)$ y luego tengo que calcular el producto punto pero no estoy seguro.

¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

Esto es un paso con el Teorema de Stokes: $$\int_\Omega d\alpha\wedge d\beta = \int_{\partial\Omega} \alpha\,d\beta,$$ desde $d(\alpha\,d\beta) = d\alpha\wedge d\beta$ . Tenga en cuenta que si $\vec F = (F_1,F_2,F_3)$ la integral de flujo $\displaystyle\int \vec F\cdot d\vec S$ viene dada precisamente por la integración de la $2$ -forma $F_1\,dy\wedge dz + F_2\,dz\wedge dx + F_3\,dx\wedge dy$ como usted sugirió.