¿Son estas dos líneas las mismas?

Question

¿Cómo puedo decir que las dos líneas son iguales?

Línea1=(5,3)+t(-4,8)

Línea2=(5,3)+t(-8,16)

Ambos tienen el mismo punto de partida, pero ¿puedo decir que tienen el mismo vector de dirección? Me parece que contienen puntos diferentes para una "t" dada.

Answer 1

La forma vectorial de la ecuación que está utilizando es $$\tag{1}{\bf r}(t) = \color{maroon}{\bf p} +t\color{darkgreen} {\bf d}$$ donde $\color{maroon}{\bf p}$ da el punto inicial de la línea (la punta de $\color{maroon}{\bf p}$ es el punto inicial de la línea correspondiente a $t=0$ ) y $\color{darkgreen}{\bf d}$ es el vector de dirección.

Para ver por qué (1) da realmente una línea: Obsérvese que la multiplicación de $\color{darkgreen}{\bf d}$ por $t$ sólo extiende, acorta o refleja $\color{darkgreen}{\bf d}$ no cambia su dirección (en el diagrama $\color{maroon}{t{\bf d}}$ es el vector punteado, de color granate).
Así, pensando en sumar vectores "de punta a cola", la punta del vector $\color{orange}{{\bf p}+t{\bf d}}$ siempre caerá en una línea.

Obsérvese que en (1), podríamos haber utilizado cualquier otro vector, como el vector azul de abajo, que es paralelo a $\color{darkgreen}{\bf d}$ como el vector de dirección, y la ecuación correspondiente daría la misma línea, sólo que trazada de forma diferente.

Si se piensa que la línea está generada por un punto móvil (el gris de arriba) cuya posición en el momento $t$ es ${\bf r}(t)$ entonces en tu ejemplo, el punto se mueve dos veces más rápido en tu ecuación para la línea2 que en la ecuación para la línea1.

Answer 2

Sí, lo son porque $(-8,16)$ es un múltiplo de $(-4,8)$ :

$$(-8,16)=2\cdot (-4,8).$$

Si un punto $(a,b)$ pertenece a la Línea1, digamos $(a,b)=(5,3)+t(-4,8)$ entonces también pertenece a la Línea2 porque $(a,b)=(5,3)+\dfrac{t}{2}(-8,18)$ .

Del mismo modo, si un punto $(a,b)$ pertenece a la Línea2, digamos $(a,b)=(5,3)+t(-8,16)$ entonces también pertenece a la Línea1 porque $(a,b)=(5,3)+2t(-4,8)$ .

La longitud del "vector de dirección" es irrelevante, sólo su dirección es importante. Esto se debe a que en realidad sólo te interesa el conjunto de todos los múltiplos escalares del vector de dirección.

Answer 3

Sí, son iguales, ya que los vectores de dirección son paralelos (es decir, uno es un múltiplo escalar del otro). Es cierto que contienen puntos diferentes para una "t" dada, pero siguen conteniendo todos los mismos puntos -- por ejemplo, el punto de la línea1 en un determinado $t$ corresponde al punto de la línea2 en el momento $t/2$ .