Sumas divergentes de recíprocos con propiedad de factorización única

Question

Sea $A=\{a_n|n\in\mathbb{N}\}$ una secuencia de enteros positivos con las siguientes propiedades:

1. $1,

2. $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}+\cdots=\infty$.

¿Siempre existe una subsecuencia $B\subseteq A$ con $B=\{b_n|n\in\mathbb{N}\}$ tal que

1. $\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots+\frac{1}{b_n}+\cdots=\infty$,

2. Todos los productos $d_1^{m_1}\cdot d_2^{m_2}\cdots\cdot d_k^{m_k}$ son distintos (para todo $k\in \mathbb{N}$), donde $d_1,\dots,d_k$ son elementos distintos de $B$ y $m_1,\dots,m_k$ son enteros positivos?

Answer 1

Número. Deje $A$ sea la secuencia de semiprimos $pq$ con $p < q < p^2$. Dado que la suma de los recíprocos de los números primos entre $p$ y $p^2$ se acerca a $\ln \ln (p^2) - \ln \ln p = \ln 2$,

$$\sum \frac1A \sim \sum_n \frac{1}{p_n} \ln 2 = \infty.$$

Pero todos los elementos $n$ de $B$ cuyos factores primos son todos a lo sumo $p_{n - 1}$ violarían la condición de distintividad (porque $d_1^{m_1}d_2^{m_2} \dotsm d_n^{m_n} = 1$ para $(m_1, \dotsc, m_n) \in \mathbb Z^n$ se reduce a un sistema lineal de $n - 1$ ecuaciones), así que uno de los primeros $n$ elementos debe ser mayor que $\sqrt{p_n} \cdot p_n$, y

$$\sum \frac1B < \sum_n \frac{1}{\sqrt{p_n} \cdot p_n} < \infty.$$