RoS es una relación de equivalencia si RoS = SoR

Question

Sean R y S dos relaciones de equivalencia sobre X.

Quiero demostrar que $R\circ S$ es una relación de equivalencia, pero no puedo demostrar que es reflexivo y transitivo .

Por transitividad:

Hay arbitrariedades $x$ y $y$ con $(x,y)\in R\circ S \iff$ hay $z$ con $(x,z)\in R$ y $(z,y)\in S$ ...?

Y donde tengo que usar el $R\circ S=S\circ R$ ?

Answer 1

Utilizo la notación $xRy$ en lugar de $(x,y)\in R$ . En particular, $xRSy$ significa $xRaSy$ para algunos $a$ . También es conveniente escribir $xRySz$ en lugar de ( $xRy$ y $yRz$ ). En general, le aconsejo que dibuje estas relaciones en forma de gráfico, con vértices que representen puntos y aristas que denoten la relación.

Supuesto $R\circ S=S\circ R$ .

Transitividad: Supongamos que $xRSy$ y $yRSz$ es decir $xRaSy$ y $yRbSz$ para algunos $a,b$ . Entonces $aSyRb$ o corto, $aSRb$ . Desde $SR=RS$ obtenemos $aRSb$ Digamos que $aRcSb$ para algunos $c$ . Pero entonces $xRaRcSbSz$ y como $R,S$ son relaciones de equivalencia, $xRcSz$ Así que $xRSz$ .

Estoy seguro de que ahora puedes demostrar la reflexividad por ti mismo.

Supuesto $R\circ S$ es una relación de equivalencia.

Esta dirección es muy similar a la prueba anterior, deberías probarla.