Enteros positivos $k = p_{1}^{r_{1}} \cdots p_{n}^{r_{n}} > 1$ satisfacción $\sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{-r_{i}} < 1$

Question

Un divisor $d$ $k = p_{1}^{r_{1}} \cdots p_{n}^{r_{n}}$ es unitaria si y sólo si $d = p_{1}^{\varepsilon_{1}} \cdots p_{n}^{\varepsilon_{n}}$, donde cada exponente $\varepsilon_{i}$ es $0$ o $r_{i}$. Vamos $D_{k} = ${ $d$ } ser el subconjunto de unitario divisores de un número entero $k > 1$ satisfacción $\omega(d) = \omega(k) - 1$.

Definición. Un entero positivo $k = p_{1}^{r_{1}} \cdots p_{n}^{r_{n}} > 1$ es hiperbólico si y sólo si $\sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{-r_{i}} < 1$ o, de manera equivalente, $\sum_{d \in D_{k}} d < k$.

Ver a mi OEIS entrada.

Por ejemplo, $3$, $10$ y $20$ son hiperbólico, sino $30$ $510510 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ no lo son.

Suponiendo que mis cálculos son correctos, voy a decir lo siguiente con un poco de confianza:

De hecho, muchos de los enteros positivos son hiperbólicos. De la primera $10^{8}$ enteros, $70334760$ son hiperbólicos. No triviales primer poderes, plazas o más, también son hiperbólicos. Si $k$ es un hiperbólico entero, entonces su adecuado, no trivial unitario divisores; sin embargo, el mismo no puede ser inferido de todos los divisores (considerar la hiperbólica entero$900$, y de que no hiperbólico divisor $30$). De hecho, cualquier producto de cualquier número de no-trivial unitario divisores de un hiperbólico entero es de nuevo hiperbólica.

El conjunto de hiperbólico números enteros es cerrado bajo la exponenciación, pero no en virtud de la adición (por ejemplo, $10 + 20 = 30$) o en virtud de la multiplicación (por ejemplo, $3 \times 10 = 30$).

Definir el Primer zeta función, $\zeta_{P}(s) = \sum_{p \text{ prime}} p^{-s}$, que converge absolutamente para $\mathsf{Re}(s) > 1$. Recordemos que la multiplicidad de un divisor primo $p$ $k$ es el mayor exponente $r$ tal que $p^{r}$ divide $k$ pero $p^{r+1}$ no. Si el mínimo de la multiplicidad de un entero $k$ $2$ o más, a continuación, $k$ es hiperbólica, como puede verse en la primaria obligado \begin{eqnarray} \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{-r_{i}} < \zeta_{P}(2) \approx 0.452247 .... \end{eqnarray} Por lo tanto, la cuestión de la hyperbolicity no es trivial sólo para los números enteros con la mínima multiplicidad $1$.

Numérico de la evidencia sugiere que el natural de la densidad de la hiperbólico enteros es mayor que $0.988284 \dots$, y suponemos que casi todos los números enteros son de hecho hiperbólico (es decir, la natural, la densidad es 1).

Pregunta: Es algo que actualmente se conoce acerca de tales enteros? (Referencias bienvenida!)

Pregunta: ¿existe una prueba simple que muestra (o refutar) que casi todos los números enteros son hiperbólico?

Gracias!

Answer 1

Decir $k$ tiene la factorización en primos $p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}$. A continuación, vamos a $H(k)$ ser el "hyperbolicity" de esta entero, $H(k) = \sum_{i=1}^n p_i^{-r_i}$. Hiperbólico enteros son los números enteros $k$ que $H(k) < 1$.

Ahora, $H(k)$ para algunos "random" integer $k$ se ve como una suma de variables aleatorias independientes $X_p$, uno para cada uno de los prime $p$ donde $P(X_p = p^{-k})$ es la probabilidad de que un entero aleatorio es divisible por $p^k$ pero no $p^{k+1}$. Por lo tanto $P(X_p = p^{-k}) = (p-1)/p^{k+1}$.

En particular $$ E(X_p) = \sum_{k \ge 1} p^{-k} P(X_p = p^{-k}) = \sum_{k \ge 1} {p-1 \over p^{2k+1}} = {1 \over p^2 + p} $$

Las cosas se ponen un poco difícil de encontrar la distribución de $\sum_p X_p$; en particular, un teorema del límite central no funciona, porque la contribución de cada uno de los pequeños números primos es demasiado grande. Pero hay una cierta limitación de la distribución, y yo sospecho que al menos tiene cierta semejanza con la limitación de la distribución de la real hyperbolicities de los números enteros.

Por cierto, mis pruebas parecen apuntar a un natural de la densidad de hiperbólico enteros en algún lugar en el barrio de 99 por ciento. Me gustaría conjetura de que los números enteros con hyperbolicity menos de $k$ natural de la densidad. No hay resultados similares en la distribución de $\sigma(n)/n$ donde $\sigma(n)$ es la suma de los divisores de a $n$; véase, por ejemplo, Marc Deleglise, los Límites de la densidad de abundante enteros.

Answer 2

[[EDITAR: Vamos a $ k = p_1^{r_1} \cdots p_n^{r_n} $ como en tu post. Luego de definir el hyperbolicity $ H(k) = \sum_{i=1}^n p_i^{-r_i} $.]]

Podemos refutar la idea en su segunda pregunta en una forma más general de lo que usted podría esperar. Tenga en cuenta que desde $ \zeta_P(1) $ diverge, números arbitrariamente grandes hyperbolicity; del mismo modo, desde la $ H(2^n) = 2^{-n} $, se deduce que los números pueden tener arbitrariamente pequeño hyperbolicity. Definir $ d(x) $ a ser el asintótica de la densidad de los números naturales satisfacer $ H(n) > x $. Vamos a demostrar la desigualdad estricta $ d(x) > 0 $ tiene para todos los $ x > 0 $, e incluso deducir una satisfacción límite inferior de lo suficiente, erm... no-pequeño $x $.

Fix $ x \in (0,\infty) $. Deje $ k $ el menor número natural tal que $ 1/2 + 1/3 + 1/5 + \dots + 1/p_k > x $. A continuación, para $ n = 2(3)(5)\cdots (p_k) $, $ H(n) > x $. Tenga en cuenta que hyperbolicity, tomado como una función aritmética, es multiplicativo, aunque no totalmente. De hecho, a través de la categorización que los factores primos pertenecen donde y cuando se está duplicado, uno puede ver la siguiente fórmula:

$$ H(ab) = H(a) + H(b) - H(\gcd(a,b)^2) + H(\gcd(a,b)) $$

Esto no es necesario para nuestro argumento, sólo lo estoy poniendo que hay para la posteridad.

En cualquier caso, podemos concluir que para cualquier número $ m $ que es coprime con $ n $, podemos obtener otra sufficently hiperbólico número a través de la multiplicación: $ H(nm) > H(n) > x $. Note that the density of numbers coprime with $ $ n se puede expresar como

$$ y = (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\cdots (1-1/p_k). $$

Esta fórmula se hace eco de la Criba de Eratóstenes: se sigue del hecho de que la probabilidad de un número es divisible por un primo es independiente de la probabilidad es divisible por un primo.

Finalmente, si se toma el conjunto de todos los números de $ m $ coprime con $n $, y los multiplicamos todo por $ n $, se convertirán en $ n $ veces más dispersos, por lo tanto la densidad de todos los números de la forma$ n m $$ y / n $. Esto demuestra $ d(x) \ge y/n $, lo cual es una muy buena límite inferior tanto tiempo como $ x $ no es demasiado pequeño (este es mi impresión subjetiva). Para $ x = 1 $, igual que en tu pregunta original, tenemos cerca de su límite inferior $ (1/30)(1/2)(2/3)(4/5) $ o acerca de 0.89%.

Hasta ahora no he sido capaz de determinar si existe o no existe ningún tipo de $ \epsilon > 0 $ tal que $ d(\epsilon) = 1 $. Si es que la hay, entonces existiría un máximo de $ u $ tal que $ d(\epsilon) = 1 $ cualquier $ \epsilon \in (0,u) $, lo que tendría que hacer una nueva e interesante constante. Tenga en cuenta que $ d(x)$ está disminuyendo, aunque no estoy seguro de si es continua. Lo que sería realmente interesante es si $ d(x) $ fueron diferenciable en un intervalo.