Excentricidad de la cónica dada por una ecuación complicada con coeficientes trigonométricos como $\tan 10^\circ$

Question

Encuentra la excentricidad de la cónica dada por:

$$\left(x\tan 10^\circ+y\tan 20^\circ+\tan 30^\circ\right)\left(x\tan 120^\circ+y\tan 220^\circ+\tan 320^\circ\right)+2018=0$$

Lo que he probado

$$\bigg(x\tan10^\circ+y\tan 20^\circ+\frac{1}{\sqrt{3}}\bigg)\bigg(\sqrt{3}\; x +y\tan 220^\circ+\tan 320^\circ\bigg)+2018=0$$

$$\begin{align}\Longrightarrow\quad &\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}xy\tan 20^\circ+x+xy\tan 10^\circ\tan 220^\circ+y^2\tan 20^\circ\tan 220^\circ \\[4pt] &+\frac{y}{\sqrt{3}}\tan 220^\circ+x\tan 10^\circ\tan 220^\circ+y\tan 20^\circ\tan 320^\circ+\frac{1}{\sqrt{3}}\tan 320^\circ \\[4pt] &+2018=0 \end{align}$$

¿Cómo lo resuelvo? Ayúdeme, por favor.

Answer 1

Equivalente a $0$ las expresiones dentro del paréntesis obtenemos las ecuaciones de dos rectas, que son las asíntotas de la hipérbola: $$ x\tan 10°+y\tan 20°+\tan 30°=0,\quad -x\tan 60°+y\tan 40°+\tan 320°=0, $$ donde utilicé $\tan120°=-\tan60°$ y $\tan220°=\tan40°$ .

Pero estas líneas son perpendiculares, porque $$\tan10°\tan60°=\tan20°\tan40°$$ (puede comprobarlo con una calculadora, o leer las respuestas a esta pregunta Recordando que $\tan60°=1/\tan30°$ ).

Por lo tanto, se trata de una hipérbola rectangular y su excentricidad es $\sqrt2$ .