Es $f = X^p - p^2$ irreducible sobre $\mathbb{Q}$ para $p \geq 3$ ¿un número primo? Normalmente utilizaría Eisenstein, pero eso no funciona en este caso. He intentado calcular $f(X+1)$ pero eso no parece dar ningún avance. Para el contexto, estoy tratando de determinar el campo de división $\Omega_f$ en $\mathbb{Q}$ y el grado de esta extensión. Supongo que debería ser $\Omega_f = \mathbb{Q}(\sqrt[p]{p^2},\zeta_p)$ , con grado $p(p-1)$ pero estoy atascado en la prueba. Puede alguien confirmar que esto es así?
En el caso $f = X^p - p$ He hecho lo siguiente. En $\mathbb{C}$ vemos que las raíces de $f$ vienen dadas por $\zeta_p^k \sqrt[p]{p}$ con $0 \leq k \leq p-1$ . Ahora miramos la torre $$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{p}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{p},\zeta_p) = \Omega_{f}. $$ El primero tiene grado $p$ con un polinomio mínimo $X^p - p$ (irreducible, Eisenstein para $p$ ). El segundo tiene un polinomio mínimo $\Phi_p$ de grado $p-1$ . Vemos que esto es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p}) \subset \mathbb{R}$ , ya que $\zeta_p \in \mathbb{C}$ y también todos los poderes $\zeta_p^k \notin \mathbb{R}$ para $1 \leq k \leq p-1$ . Así que la nota total es $p(p-1) = p^2 - p$ . ¿Es esto correcto?
