Una descripción geométrica de los módulos inyectivos

Question

He descubierto que cuando se estudia el álgebra conmutativa, pensar en las cosas en términos de su interpretación algebro-geométrica ayuda a que se queden grabadas, así como a motivar conceptos que de otro modo serían imparciales y abstractos.

(Por ejemplo, pensar que la localización se refiere a conjuntos abiertos, las terminaciones a vecindades infinitesimales, la descomposición primaria a componentes irreducibles, etc.)

Me gustaría hacer lo mismo con los conceptos del álgebra homológica. Soy vagamente consciente de que los módulos proyectivos se corresponden geométricamente con los haces vectoriales (es decir, con la condición de ser localmente libres) al menos en casos agradables, y la planitud parece tener una interpretación profundamente geométrica como algo difícil de describir sobre "familias suavemente variables". ¿Existe una forma igualmente geométrica de pensar en los módulos inyectivos? Si no es así, ¿hay alguna intuición de por qué dualizar el concepto de módulo proyectivo rompe la correspondencia geométrica?

Si conoces otras buenas correspondencias entre ideas geométricas y construcciones de álgebra homológica, también me gustaría escucharlas

Answer 1

El análogo de un módulo $M$ sobre un anillo $A$ es una gavilla (casi coherente) de módulos sobre un esquema $X$ . De hecho, en el caso $X=\operatorname{Spec} A$ es una variedad afín, las dos nociones coinciden. Cuando

Primer punto: cómo se puede pensar en una gavilla $F$ sur $X$ ? Bueno, puede tomar el asociado étalé espacio y pensar en él como un espacio $p: E \to X$ , de tal manera que

$$F(U) \simeq \{e \in E: p(e) \in U\}$$

Tenga en cuenta que las secciones son $R$ -módulos en este caso. En otras palabras, siempre se puede pensar en una gavilla como una gavilla de secciones. Una buena manera de pensar en las secciones son una especie de "funciones generalizadas" que pueden tomar más de un valor. Por ejemplo, tomemos la función $x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{C}$ las secciones locales en una vecindad de 1 son exactamente las dos funciones $\sqrt{x}, -\sqrt{x}$ .

Otro conjunto de ejemplos geométricos de gavilla -a pesar de ser menos general y menos común en la geometría algebraica- es la gavilla de soluciones a una restricción dada (como una ecuación diferencial): localmente puede tener muchas soluciones, pero no es necesariamente cierto que se peguen a una solución global. Este punto de vista es útil porque es más común tener una acción de un anillo $R$ en el espacio de soluciones. Por ejemplo, si tienen alguna simetría bajo la acción de un grupo y son estables para la multiplicación por una constante real, el anillo $\mathbb{R}[G]$ está actuando sobre el espacio de soluciones; sin embargo, en esta situación es mucho más natural tener un grupo "continuo" de simetrías (como las rotaciones), y se considera el espacio de soluciones como un módulo sobre el álgebra de mentira asociada.

Obsérvese que el ejemplo de "funciones generalizadas" anterior es un caso especial del caso de "soluciones a una restricción": secciones de la función $x^2 \mapsto x$ son exactamente las funciones complejas que satisfacen $f(x)^2 = x$ .

Segundo punto: ¿qué significa ser una gavilla inyectiva? La consecuencia más "limpia" es que sus grupos de cohomología son todos cero (excepto el cero-ésimo que coincide con el módulo).

Intuitivamente, pienso que "tener cohomología cero" es como no tener agujeros de ninguna dimensión. Una reencarnación concreta de esta intuición es el hecho de que una gavilla inyectiva es "flasque", o "flabby": esto significa que cualquier sección local se extiende a una sección global (léase: ¡cualquier solución local se extiende tk una solución global!).

Ahora vemos una aproximación completamente diferente, que es equivalente a ser inyectiva pero no pictórica como la anterior.

Recordemos el criterio de que basta con comprobar que todo morfismo $I \to M$ se extiende a un morfismo $R \to M$ , donde $I$ es un ideal de $\mathbb{R}$ . Supongamos que el anillo es noetheriano, por lo que el ideal $I$ está generada por un número finito de elementos $f_1, \ldots, f_n$ . Esto significa que tenemos una secuencia exacta

$$ 0 \to K \to R^n \to I \to 0 $$

Y que un mapa de $I$ a $M$ es lo mismo que elegir n elementos $m_1, \ldots, m_n\in M $ que satisfacen las relaciones prescritas por $K$ . Encontrar una extensión para $R$ significa encontrar un elemento $m \in M$ tal que $f_j m = m_j$ . Veamos un ejemplo fácil: si se toma un ideal generado por un elemento $(f) $ para cualquier $m_1 \in M$ puede encontrar un elemento $m$ tal que $fm = m_1$ . En otras palabras, tienes "" $ m =m_1/f$ , es decir, el módulo es divisible . Para PID como $\mathbb{Z}$ esto es equivalente a ser inyectivo. En general, siempre se puede encontrar un "divisor común" dado que los elementos satisfacen las relaciones obvias que deberían satisfacer. Si, por ejemplo $R= \mathbb{C}[x, y]$ y quieres un elemento $m$ tal que $xm = m_1, ym= m_2$ es necesario que $m_1, m_2$ satisfacer $ym_1 = xym = xm_2$ .

En términos de gavillas, esto no es mucho más significativo. Dado un ideal $I=(f_1, \ldots, f_r) $ significa que si algunas secciones globales $m_1, \ldots, m_r$ satisface las relaciones análogas a las satisfechas por $f_1, \ldots, f_r$ siempre se puede encontrar una sección global $m$ tal que $f_j m = m_j$ .