La fundación de la orden de los números reales

Question

Esta podría ser una pregunta tonta, pero ¿cuál es el fundamento matemático para la ordenación de los números reales? ¿Cómo podemos saber que $1<2$ o $300<1000$... Son los números reales definir simplemente como ser ordenado en este camino por la construcción?

Gracias por cualquier aporte.

Answer 1

Le pregunte que como una cuestión fundamental. La respuesta es simple. Depende de tu enfoque fundamental para los números reales.

1. Podemos comenzar por la construcción de los números naturales, entonces los enteros, entonces los racionales, y, a continuación, los números reales por un mecanismo u otro. En este enfoque, el orden en $\Bbb N$ se extiende en una manera que sea compatible con la extensión de las operaciones, y por lo que la orden viene de eso.

2. Podemos empezar por escribir un par de axiomas, que indica que tenemos una orden de campo, y que satisface ciertas propiedades (que puede o no puede ser expresable en la lógica de primer orden, pero no vamos a estar preocupados por este problema ahora). A continuación, los números reales son un poco justo allí. Tenemos términos para$0$$1$, así que podemos escribir cerrado de términos para cada número natural, y podemos definir cada número racional e incluso un par de números irracionales.

   Entonces la pregunta de por qué es $1<2<3$ es atendido por probando esto de los axiomas que hemos escrito. Por ejemplo, si escribimos que "Siempre $x<y$ a continuación, para todos $z$, $x+z<y+z$" y "Siempre $x<y$$0<z$,$x\cdot z<y\cdot z$", entonces podemos demostrar que $0<1$ y, por tanto, $1<2$ $2<3$ y así sucesivamente.

3. Usted puede ser muy Platónico, y se limitó a declarar que esto es cierto en el universo de las matemáticas. Por supuesto, acaba de declarar que algo es verdad, en este día y edad, probablemente de no ser aceptada por los demás miembros de la comunidad matemática. Pero aún se puede ver la gente lo hace (aunque por lo general no en algo tan rudimentario como $300<1000$).

Answer 2

Normalmente, el campo de los números reales se construye tomando secuencias de Cauchy de números racionales. Los números racionales tienen un orden derivado de la ordenación de los números enteros: $p / q > r / s$ sólo en caso de $(p / q) - (r / s)$ tiene un positivo numerador y el denominador, o un negativo numerador y el denominador. A continuación, puede recuperar el orden en los números reales, diciendo que una secuencia de Cauchy es positivo si contiene sólo un número finito de términos $\le 0$. A partir de este se pueden demostrar cosas como: cada número real es positivo, negativo o cero; la suma de dos números positivos es positivo, etc. Podemos decir $x > y$ sólo en caso de $x - y$ es positivo.

Sin embargo, hay otra forma, de interés para el modelo de la teoría de los números reales. Si usted tiene los números reales como un campo, se puede definir que el $x > y$ si y sólo si existe un número real $z$ tal que $y - x = z^2$. Pero no estoy seguro de que es fácil demostrar las propiedades de la $<$ orden si usted toma este enfoque.

Answer 3

Si usted acepta lo siguiente:

• El estándar de pedidos entre los números reales está de acuerdo con el estándar de pedidos entre números naturales, es decir, números enteros no negativos. Esto toma un poco de trabajo para demostrar rigurosamente, pero el sociológica de la prueba es simple: Cualquier cuerdo matemático podría negarse a aceptar como estándar de cualquier orden entre los números reales que no están de acuerdo con el estándar de pedidos entre números naturales.
• Para dos números naturales $x$$y$, escribimos $x\geq y$ si $x = y+z$ donde $z$ es también un número natural. Esto es sólo una definición que restringe el acuerdo antes mencionado.
• $2 = 1+1$, e $1$ es un número natural.
• $1000 = 300 + 700$, e $700$ es un número natural.

A continuación,$2>1$$1000>300$.

Uno puede ir a probar que cada decimal finito (cadena de 0-9) representa un número natural, y que la convencional alineado a la derecha diccionario de pedidos entre los decimales de acuerdo con el orden entre números naturales. A continuación, basta recordar que el dígito "2" viene después "1", y señalar que "1000" tiene mas dígitos que "300". De esta manera la mayoría de la gente estaría de razón en la práctica.

Answer 4

El orden en los reales viene en el extremo de que en los números enteros, a través de que en los racionales. El orden en los números enteros es el único transitiva de la relación de la satisfacción de $0<1$ $a>0\implies (b>c \iff b+a>c+a)$ y no permitir que los $a<b$ mientras $b<a$. A continuación, el orden en los racionales es determinar, aunque creo que se necesita por separado requieren totalidad: por ejemplo, $0<1/2$ porque $0\neq 1/2$$0<1$. Para extender a los números reales que requiere el conocimiento de una construcción de los números reales, por ejemplo, como Dedekind cortes: a continuación, el orden en los reales sólo se convierte en la contención, o, equivalentemente, $r<s$ significa que todos racional en $r$ es menos de lo que algunos racional en $s$.

En resumen, los hechos sobre el orden a seguir, desde asumiendo $0<1$ y que el orden en que se comporta en forma razonable con respecto a la aritmética.