Ultrafiltros que conservan las uniones infinitas

Question

Un filtro $U$ sobre un álgebra booleana (isomorfo a un conjunto de potencias) $A$ "conserva" una unión $a = \bigcup_{i\in I}a_i$ , si $a\in U$ implica $a_i\in U$ para algunos $i\in I$ . (Una unión $a$ es infinito si $I$ es). Existen ultrafiltros que preservan conjuntos contables de uniones infinitas y, además, para un elemento arbitrario no nulo $e \in A$ existe un ultrafiltro que contiene $e$ .

La pregunta es: si hemos dado un subconjunto $S\subset A$ con la propiedad de intersección finita (cada subconjunto finito no vacío $T\subseteq S$ tiene un encuentro no nulo), y una colección contable de uniones infinitas en $A$ ¿existe un ultrafiltro que contenga $S$ y la conservación de estas uniones? Si la respuesta general es negativa, ¿existen condiciones adicionales para $A$ o $S$ que aseguran la existencia de dicho ultrafiltro?

Answer 1

En general, esto es falso: si se toma cualquier unión $a=\bigvee_{i\in I}a_i$ que es esencialmente infinito (es decir, $a$ no es la unión de ningún subconjunto finito del $a_i$ s), entonces el conjunto $S=\{a\}\cup\{-a_i:i\in I\}$ tiene fip, y ningún ultrafiltro que contenga $S$ conserva la unión $a=\bigvee_{i\in I}a_i$ .

Para un resultado positivo, tal ultrafiltro existe bajo la siguiente suposición adicional: para cada unión $a=\bigvee_{i\in I}a_i$ que queremos preservar, y para cada $b\in A$ tal que $S\cup\{a,b\}$ tiene fip, existe $i\in I$ tal que $S\cup\{a_i,b\}$ tiene fip. [Prueba: construir una secuencia $b_0\ge b_1\ge\dots$ tal que $S\cup\{b_n\}$ tiene fip, y $b_n$ "decide" el $n$ en el sentido de que, o bien $b_n\le a_i$ para algunos $i\in I$ o $b_n\le-a$ . A continuación, extienda $S\cup\{b_n:n<\omega\}$ a un ultrafiltro].

Se puede considerar que esto es una versión booleana del teorema de la omisión de tipos.