En el Álgebra de Hungerford, define en primer lugar que el equipolente es una relación entre dos conjuntos $A$ , $B$ si existe la biyección $f:A\rightarrow B$ , entonces demuestra que
La equipolencia es una relación de equivalencia en la clase de todos los conjuntos.
entonces
Definición 8.2: El número cardinal (o cardinalidad) de un conjunto $A$ , denotado como $|A|$ es la clase de equivalencia de $A$ bajo la relación de equivalencia de equipolencia. $|A|$ es un cardinal infinito o finito según $A$ es un conjunto infinito o finito.
Como afirma en el siguiente párrafo,
Los números cardinales se definen con frecuencia de forma algo diferente a como lo hemos hecho, de modo que un número cardinal es de hecho un conjunto (en lugar de una clase propia como en la definición 8.2)
Creo entender la definición y comprender que el número cardinal es siempre una clase propia.
Pero más adelante el autor afirma:
Propiedad (iii) El número cardinal de un conjunto finito es el número de elementos del conjunto.
Aquí no puedo entenderlo. Según su definición, el número cardinal de un conjunto finito debe ser una clase de equivalencia por equipolencia sobre la clase de todos los conjuntos, entonces ¿cómo puede ser un número? o ¿es cómo se define un número?
De la definición, sólo puedo concluir que $|A|=|I_{n}|$ para algunos $n$ , donde $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ . Entonces, ¿la propiedad (iii) es verdadera sólo cuando el "número" es realmente una clase propia? Hungerford no indica claramente qué es un "número", así que estoy confundido.
