Debe ser una función armónica que sea positiva y tenga derivada normal positiva en la $x$ -¿el eje es positivo en todo el semiplano superior?

Question

Quiero demostrar que si $u(x,y)$ una función dos veces diferenciable en el semiplano superior, $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\mid y \geq 0\},$ obedece a las siguientes condiciones,

1. es armónico, es decir $(\partial_x^2 + \partial_y^2)u=0$ en cualquier lugar del semiplano superior
2. $u(x,0)\geq 0$ en el $x$ -eje
3. $\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=0} \geq 0$ en el $x$ -eje

entonces también obedecerá $u(x,y) \geq 0$ en todas partes en el medio plano superior.

Es se siente intuitivamente obvio, con mi floja comprensión de la forma de las funciones armónicas en el plano: si uno comienza en el $x$ -eje totalmente positivo con $u$ aumentando en todas partes a medida que se avanza en el plano superior, ¿cómo podría caer por debajo del valor más bajo en el $x$ -¿eje? ¿No tendría ese tipo de profundidad que venga de alguna parte? Pero más allá de esta intuición realmente no he avanzado. He intentado algunos contornos creativos para utilizar el teorema de Stokes y el de la divergencia, pero no he conseguido nada. No sé mucho sobre ecuaciones diferenciales parciales -sólo lo que enseñan en un curso de licenciatura de física- así que podría estar pasando por alto algo obvio. ¿Se puede demostrar? ¿Es cierto?

Answer 1

Si sabes que $f(x,y)$ es armónico y no negativo en el semiplano abierto $y > 0$ entonces hay una medida de Lebesgue positiva $\mu$ en $\mathbb{R}$ y una constante real no negativa $A$ tal que $$ f(x,y) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{(x-x')^2+y^2}d\mu(x')+Ay, $$ donde $\mu$ satisface $$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\mu(t)}{1+t^2} < \infty. $$ Los componentes de esta representación son únicos. A la inversa, cualquier representación de este tipo da una función armónica no negativa en el semiplano superior abierto. Se trata de una variante de un teorema de Gustav Herglotz de 1911.

La única diferencia significativa entre este caso y el tuyo es que has añadido la diferenciabilidad en la dirección normal en el eje real. No es necesario imponer la diferenciabilidad en la dirección normal para obtener una función armónica no negativa. La diferenciabilidad en la dirección normal parece requerir que $\mu(-\infty,t]$ es diferenciable en $t$ en $\mathbb{R}$ y viceversa, lo que reduciría la integral a una clásica integral de Poisson de una función continua no negativa $\rho(t)$ para lo cual $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\rho(t)}{1+t^2}dt < \infty$ , además $Ay$ donde $A$ es una constante no negativa.