Los números de 1 a 1985 han escrito una después de la otra para formar un nuevo número, $n=123456\ldots19841985$. Demostrar que no puede haber 985 divisores de $n$.
Esto debe ser resuelto en el papel, sin el uso de métodos de programación.
Respuesta
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Suponiendo que significa que no puede ser exactamente $985$ distintos divisores de $n$... $985=5\times 197$. Si $n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$, $p_1\lt\cdots\lt p_r$ de los números primos, entonces el número de divisores de a$n$$(a_1+1)\cdots(a_n+1)$, por lo que la única manera de $n$ podría tener exactamente $985$ divisores es si $n=p_1^4p_2^{196}$ para los dos primos $p_1$$p_2$; o $n=p^{984}$ $p$ de una prima.
Desde $n$ es divisible por $5$, uno de los primos deben ser $5$; por lo tanto, $n$ sería divisible por $25$. Sin embargo, todos los múltiplos de $25$ final en $00$, $25$, $50$, o $75$, $n$ no lo hace; por lo $n$ no tienen exactamente $985$ distintos divisores.
Robert Israel acertadamente señala el sencillo argumento: $n$ es divisible por $5$ pero no $5^2$, por lo que a partir de la fórmula para el número de divisores que podemos ver de inmediato que el número de divisores de a $n$ es aún, por lo tanto no $985$. E incluso si usted no sabe la fórmula de divisores, se pueden dividir los divisores en múltiplos de $5$ y coprime a $5$, y un par de ellos para ver el número de divisores es aún.
