Curvas matemáticas complejas

Question

Dejemos que $y$ sea la curva en $X$ definido por

$\displaystyle y(m)=\left(\frac{m^3}{3}\right)-m+\left(im^2\right)$ , $m \in [-2,2]$

a)Que $\,f(z) = -iz\,$ . Calcular la integral $\,(y) f(z)dz\,$

b)Calcular la longitud de $y$

Mi respuesta para (b):

La longitud de $\,C(t)\,$ viene dada por la expresión habitual para las longitudes de arco. Definiendo la parte real $\,x = t^3/3 - t\,$ y la parte imaginaria $\,y = t^2\,$ ,

$$S = \int\limits_{-2}^2[(dx)^2+(dy)^2]^{1/2} =\int\limits_{-2}^2[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]^{1/2}dt =$$

$$\int\limits_{-2}^2 [(t^2-1)^2+(2t)^2]^{1/2}dt = \int\limits_{-2}^2(t^2+1)dt = 2t^3 + t$$

La respuesta que obtengo es $S = 32\,$ .

Answer 1

Deberías ser capaz de hacer la parte (a) igualmente. Considere

$$\int_C dz \: f(z) = \int_C (\Re{[f(z)]} dx - \Im{[f(z)]} dy) + i \int_C (\Im{[f(z)]} dx + \Re{[f(z)]} dy)$$

donde $f(z) = -i z$ y $C$ es el contorno definido anteriormente. Es decir, definir

$$x(m) = \frac{1}{3} m^3 - m$$ $$y(m) = m^2$$

$$dx = (m^2-1) dm$$ $$dy = 2m\, dm $$

Tenga en cuenta que

$$ \Re{[f(z)]} = y(m)$$ $$ \Im{[f(z)]} = -x(m)$$

Poner todo esto junto e integrar entre $m \in [-2,2]$ . Viz.

$$\begin{align}&\int_{-2}^2 dm \: [m^2 (m^2-1) + ((m^3/3)-m)(2 m)] + i \int_{-2}^2 dm \: [m^2 \, 2m - ((m^3/3)-m)(m^2-1)]\\ &= \int_{-2}^2 dm \:\left [ \frac{5}{3} m^4 - 3 m^2 \right ] + i \int_{-2}^2 dm \:\left [-\frac{1}{3} m^5 + \frac{4}{3} m^3 +m\right ]\end{align}$$

Nótese que la parte imaginaria es cero (¿por qué?). La integral de línea es entonces

$$\frac{2}{3} 2^5 - 2 \,( 2^3) = \frac{16}{3}$$