Son $(\mathscr{C}\times \mathscr{C})\times \mathscr{C}$ y $\mathscr{C} \times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$ ¿se consideran iguales?

Question

Estoy familiarizado con las categorías monoidales y quiero asegurarme de que entiendo completamente la definición. Una cosa que sigo atascado es el isomorfismo natural entre $(X\otimes Y)\otimes Z$ y $X\otimes (Y \otimes Z)$ y en qué sentido es una transformación natural. Este parece ser un punto bastante sutil e importante, pero parece ser casi universalmente glosado, y me pregunto si me estoy perdiendo algún antecedente que lo haga obvio.

De todos modos, está claro que $(-\otimes -)\otimes -$ y $-\otimes (- \otimes -)$ son ambos funtores hacia la categoría en cuestión, $\mathscr{C}$ y que buscamos una transformación natural entre ellos. La cuestión es que, me parece, $(-\otimes -)\otimes -$ es un functor de $(\mathscr{C}\times \mathscr{C})\times \mathscr{C}$ mientras que $-\otimes (- \otimes -)$ es un functor de $\mathscr{C} \times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$ .

Desde la definición del producto de las categorías parecen ser diferentes, ya que los objetos de uno son pares $((X,Y),Z)$ y los otros objetos son pares $(X,(Y,Z))$ . Está claro que son isomorfos, pero parece que tendríamos que hacer exactamente lo mismo que hacemos en la definición de una categoría monoidal simétrica, es decir, definir un isomorfismo explícito (en Cat) entre $(\mathscr{C}\times \mathscr{C})\times \mathscr{C}$ y $\mathscr{C} \times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$ Llámalo $A_\mathscr{C}$ .

Entonces tenemos los funtores $$((-\otimes -)\otimes -):(\mathscr{C}\times \mathscr{C})\times \mathscr{C}\to \mathscr{C}$$ y $$(-\otimes (-\otimes -)):\mathscr{C}\times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})\to \mathscr{C},$$ y la transformación natural que buscamos no es entre $(-\otimes -)\otimes -$ y $-\otimes (-\otimes -)$ pero entre $((-\otimes -)\otimes -)\circ A_\mathscr{C}$ y $-\otimes (-\otimes -)$ , los cuales van desde $\mathscr{C} \times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$ a $\mathscr{C}$ .

Después de esta explicación, mis preguntas son

• ¿Estoy en el camino correcto aquí, y toda esta maquinaria existe pero está escondida en una frase aparentemente inocente como "natural en $X$ , $Y$ y $Z$ "?

• ¿O hay alguna otra maquinaria diferente que nos permita tratar $(\mathscr{C}\times \mathscr{C})\times \mathscr{C}$ y $\mathscr{C} \times (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$ como no sólo isomorfo sino igual, y es que ¿maquinaria que se esconde detrás de la definición?

• ¿O estoy ladrando al árbol equivocado por completo y complicando las cosas más de lo necesario? Si es así, ¿cómo se resuelve el problema que describo?

Siento que la pregunta parezca un poco puntillosa, pero las definiciones de estas cosas son puntillosas por naturaleza, y en el autoaprendizaje no siempre es obvio a cuál de estos pequeños detalles hay que prestar atención.

Editado para añadir: La respuesta de Andreas Blass a continuación es genial, pero al intentar enseñar esto a algunos colegas, me está resultando muy difícil utilizar ese enfoque. Por supuesto que está totalmente justificado tratar las categorías $(\mathscr{C}\times\mathscr{C})\times\mathscr{C}$ y $\mathscr{C}\times(\mathscr{C}\times\mathscr{C})$ como el mismo - eso es completamente obvio para mí ahora - pero lo que justifica eso es el hecho de que $\mathrm{Cat}$ en este contexto es una categoría monoidal.

Así que parece que si no quiero agitar las manos sobre los dominios de $({-}\otimes{=})\otimes{\equiv}$ y ${-}\otimes({=}\otimes{\equiv})$ entonces tengo que explicar primero el teorema de coherencia de Mac Lane para el caso especial de $\mathrm{Cat}$ y luego usar ese resultado para definir los asociadores para una categoría monoidal general en general, y luego enunciarla de nuevo para el caso general. No puedo evitar la sensación de que tiene que haber una forma mejor de explicar esto.

Answer 1

Desgraciadamente, esta pregunta tiene demasiadas respuestas --- dependiendo de si la respuesta proviene de un teórico de conjuntos o de un teórico de categorías, y también dependiendo de si se hace la pregunta y se obtiene una respuesta explícita o si simplemente se observa lo que la gente hace en la práctica. Así es como me parece a mí la situación:

Teórico del juego: Ya que has preguntado explícitamente y me has hecho prestar atención al tema, la respuesta es, estrictamente hablando, no; $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ y $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ no son literalmente iguales, sino sólo canónicamente isomorfas. Pero en la práctica, suprimo la mención de este isomorfismo canónico, por lo que en efecto actúo como si fueran iguales.

Teórico de la categoría: Los productos se definen sólo hasta el isomorfismo, por lo que no tiene sentido preguntar si $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ y $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ son iguales. Sólo podemos preguntar si son isomorfos, y la respuesta es sí. De hecho, existe un isomorfismo único que conmuta con las proyecciones obvias (las que envían a los $k$ -en $\mathcal C$ en la notación $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ a la $k$ -th en la notación $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ para cada $k=1,2,3$ ). Estos isomorfismos de asociatividad son casos especiales de los más generales $(\mathcal C\times\mathcal C')\times\mathcal C''\cong\mathcal C\times(\mathcal C'\times\mathcal C'')$ que son naturales en las tres variables. Además, los isomorfismos de asociatividad (más generales) obedecen a las conocidas condiciones de coherencia para una estructura monoidal, por lo que los teoremas de coherencia suelen permitirnos suprimir la mención de estos isomorfismos. En efecto, podemos actuar como si $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ y $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ son los mismos.

Observe que tanto el teórico de conjuntos como el teórico de categorías terminan, en la práctica, con lo que ha observado; $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ y $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ se tratan como si fueran iguales. El teórico de la categoría invoca teoremas reales (el teorema de coherencia de Mac Lane) para justificar esta práctica; el teórico del conjunto se inclina más por ignorar la cuestión o tratarla como algo obvio. No he pensado detenidamente si los teoremas de coherencia justifican plenamente el tratamiento de $(\mathcal C\times\mathcal C)\times\mathcal C$ y $\mathcal C\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ como el mismo o si hay algún remanente de ignorado-o-obvio incluso en la visión del teórico de la categoría.