¿Podemos pensar en una homotopía de cadena como una homotopía?

Question

Estoy haciendo un curso de topología algebraica, que incluye una introducción a la homología (simplicial), y estoy buscando un poco de intuición respecto a las homotopías en cadena.

Las definiciones que utilizo son:

Dejemos que $f,g : X \to Y$ sean funciones continuas entre espacios topológicos. A homotopía de $f$ a $g$ es un mapa continuo $H : X \times [0,1] \to Y$ tal que $H(\, \cdot\, , 0) = f$ y $H(\, \cdot\, , 1) = g$ .

Dejemos que $f_{\bullet}, g_{\bullet} : A_{\bullet} \to B_{\bullet}$ sean mapas de cadenas entre complejos de cadenas $(A, d_A)$ y $(B,d_B)$ . A homotopía de cadena de $f$ a $g$ es una secuencia de mapas $h_n : A_n \to B_{n+1}$ tal que $f_n-g_n=d_Bh_n+h_{n-1}d_A$ .

Conozco las propiedades de una homotopía de cadena y su similitud con las de una homotopía, pero sigo encontrando la definición bastante opaca y la noción bastante difícil de imaginar $-$ me ayudaría mucho si pudiera pensar en una homotopía de cadena de forma similar a como pienso en una homotopía.

O, para hacer mi pregunta un poco menos vaga, me gustaría saberlo:

• ¿Cuál es el fundamento de la definición de una homotopía en cadena?
• ¿Existe una similitud fundamental entre una homotopía de cadena y una homotopía, más allá de sus consecuencias posteriores?

(También se agradecería la palabrería general; realmente me gustaría desarrollar una buena comprensión).

Answer 1

Si $I$ es un complejo de cadena que representa un intervalo, con $I_0 = \mathbb{Z}^2$ y $I_1 = \mathbb{Z}$ con $\partial(x) = (x,-x)$ entonces una homotopía en cadena entre dos mapas $f,g : A \to B$ es lo mismo que un mapa $H : A \otimes I \to B$ , donde $H(a \otimes (1,0)) = f(a)$ y $H(a \otimes (0,1)) = g(a)$ . Esto explica el "desplazamiento" hacia arriba de una dimensión en la definición habitual que se ve de la homotopía de cadena, ya que su $h_n : A_n \to B_{n+1}$ corresponde a mi $H : A_n \otimes I_1 \to B_{n+1}$ .

En general, un tipo de homotopía en una categoría modelo implica lo que se llama objetos cilíndricos. Son factorizaciones funcionales del mapa de pliegue $A \coprod A \to A$ a través de un objeto $A'$ que es débilmente equivalente (para los espacios, un isomorfismo sobre grupos de homotopía - para los complejos de cadenas, un isomorfismo de homología) a $A$ la inclusión de $A \coprod A \to A'$ también debe ser particularmente bien portado (una cofibración). Efectivamente, estás garantizando que dos copias de $A$ puede jugar muy bien en $A'$ y que $A'$ es una versión "engrosada" de $A$ más que algo patológico.

Entonces una homotopía entre dos morfismos $f,g : A \to B$ es un mapa $H : A' \to B$ donde la composición $A \coprod A \to A' \to B$ es $f \coprod g$ . Verás este patrón una y otra vez.

Answer 2

La idea general es:

Los mapas continuos homotópicos entre espacios topológicos inducen mapas de cadena homotópicos entre los complejos de cadena simplicial/singular/lo que sea asociados.