Cálculo multivariable Aproximación lineal

Question

Tengo un problema con la pregunta:

Utilice la aproximación lineal de $f(x, y) = e^{2x^2+3y}$ en $(0, 0)$ para estimar $f(0.01, -0.02)$ .

Sé cómo tomar aproximaciones lineales con una variable tomando la derivada, pero estoy un poco perdido en cómo hacerlo con dos variables (diferenciación parcial creo). He intentado muchas cosas pero no soy capaz de obtener la respuesta correcta. Más adelante en esta tarea, se introduce una tercera variable. ¿Podría alguien ayudarme con este problema?

¡Muchas gracias!

Answer 1

$$ df = \frac{\partial f}{\partial x} \,dx+ \frac{\partial f}{\partial y}\, dy. \tag{This is a chain rule.} $$ $$ \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \,\Delta x+ \frac{\partial f}{\partial y}\, \Delta y. $$ $$ f(0+\Delta x,0+\Delta y) = f(0,0) + \Delta f. $$ \begin{align} f(0,0) & =1 \\ \Delta x & = 0.01 \\ \Delta y & = -0.02. \end{align}

Answer 2

Con una variable dependiente utilizamos la recta tangente para aproximar, con dos variables dependientes utilizamos el plano tangente para aproximar. El plano tangente tiene un vector normal de $\langle 1,0,f_x \rangle \times \langle 0,1,f_y \rangle=\langle -f_x,-f_y,1 \rangle$ .

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente en un punto $(a,b,c)$ es:

$$-f_x(a,b)(x-a)-f_y(a,b)(y-b)+1(z-c)=0$$

Dividiendo por $-1$ en ambos lados y resolviendo para $z$ nos encontramos con que:

$$f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+c=z$$

Sustituyendo los valores de $(x,y)$ cerca de $(a,b)$ nos dará una aproximación de $z(x,y)$ .