Determinar si un número es un primer

Question

Considere la posibilidad de $$x = \frac{4^{99}\cdot7 - 1}{3}$$

Es $x$ prime ? ¿Por qué no ? He probado el de divisibilidad los criterios, pero no puedo encontrar una manera. Actualmente estoy incursionando en la teoría de los números, pero me he quedado prendado de este. Alguna idea?

Answer 1

El primer $367$ es sacado de un sombrero, pero esto se soluciona el problema.

El uso de Euler criterio y la reciprocidad cuadrática.

$7\cdot 2^{15}\equiv 7\cdot 1024\cdot 32\equiv 7\cdot -77\cdot 32\equiv -7^2\cdot 352$

$\equiv -7^2\cdot -15\equiv 7\cdot 105\equiv 735\equiv 1\pmod{\! 367}$

$7\cdot 4^{99}-1\equiv 7\cdot 2^{15}\cdot 2^{183}-1\equiv \left(\frac{2}{367}\right)-1\equiv 0\pmod{\! 367}$

Answer 2

Un flojo método $$4^{99}7+(6-7) = =\a la izquierda(4^{99}-1\right)7 +6 = \left(2^{99\cdot 2}-1\right)7 +6$$ así tenemos $$\frac{\left(2^{99\cdot 2}-1\right)7 +6}{3} = \frac{\left(2^{3^2\cdot 11\cdot 2}-1\right)7}{3} + 2$$ desde ahora tenemos la forma de Mersenne número $2^n-1$ podemos usar el hecho de determinar que tenemos un número compuesto.

Los importantes pasos que sigue abierta es determinar si $M_{198}\equiv 0\, \text{mod 3}$. También, es el resultado de un primer o no.