Integral de $\ln f(x)$

Question

Sé que $\displaystyle\int\ln(f(x))dx=x\ln(f(x))-\int\frac{xf'(x)}{f(x)}dx$ la cual aparentemente no puede ser comprimida aún más (es decir, requiere conocer $f$). En mi problema $f$ está (bastante bien formado) de la siguiente manera:

$$f(x)=c+d(1-\frac{\cosh\frac{x}{a}}{\cosh\frac{b}{2a}})$$

para $\displaystyle-\frac{b}{2}. Estoy luchando por obtener una solución compacta para $$\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\ln(f(x))dx$$

De hecho, el segundo término ($\displaystyle\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\frac{xf'(x)}{f(x)}dx$) acaba siendo muy feo. Cualquier esfuerzo por encontrar una forma compacta sería muy apreciado.

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PD Mientras uno pueda usar la representación de Euler o la expansión de Taylor, es más deseable tener la respuesta final en una forma hiperbólica compacta. Cualquier idea ingeniosa para aproximar la integral también es muy bienvenida (rangos aproximados: $c=350, d=5, b=1e-4, a=4e-6$). No estoy seguro si ayuda, pero para su información: $f$ se obtiene resolviendo $f''-\frac{(f-c)}{a^2}=-\frac{d}{a^2}$ y comprimiendo la solución de manera elegante.

Answer 1

Utiliza la expansión de Taylor

$$\log f(x)\approx \log \left(c+d- \frac{d}{\cosh \left(\frac{a b}{2}\right)}\right)-\frac{d x^2}{2 a^2 \left((c+d) \cosh \left(\frac{a b}{2}\right)-d\right)}$$

Al introducir tus datos obtuve el valor de la integral $I=28.605$ el error es menor que $10^{-3}$ porque tu $\frac{b}{2}$ es cerca de $2.4$

Si necesitas más precisión, está el término de grado $4$ que es mucho más feo que el segundo jajaja y da una decimal más exacta

$$\log f(x)\approx -\frac{d x^4 \left((c+d) \cosh \left(\frac{a b}{2}\right)+2 d\right)}{24 a^4 \left(d-(c+d) \cosh \left(\frac{a b}{2}\right)\right)^2}-\frac{d x^2}{\cosh \left(\frac{a b}{2}\right) \left(2 a^2 \left(-\frac{d}{\cosh \left(\frac{a b}{2}\right)}+c+d\right)\right)}+\\ \log \left(-\frac{d}{\cosh \left(\frac{a b}{2}\right)}+c+d\right)$$

Espero que esto ayude

Answer 2

Su integrando puede ser escrito, después de reescalar la variable y renombrar/sacar las constantes,

$$\log(e^x+e^{-x}+h),$$ o

$$\log(e^{2x}+he^x+1)-x.$$

Si asumimos que las raíces del trinomio son reales, finalmente podemos reducir a términos de la forma

$$\log(e^z+1)$$ para la cual la antiderivada puede expresarse como

$$-\text{Li}_2(-e^{z})$$ donde $\text{Li}_2$ es conocida como la función digamma, un caso particular del polilogaritmo. (https://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_Spence)

El resultado sigue siendo válido para raíces complejas, con una computación más difícil.

Answer 3

La respuesta completa se puede encontrar en el último capítulo de mi tesis de doctorado en detalle:

https://escholarship.org/content/qt9t34j0zw/qt9t34j0zw.pdf