Región de estabilidad del método de Heun

Question

El método de Heun: $$w_{n+1} = w_n + \frac{h}{4}[f(t_n,w_n) + 3f(t_n+2/3*h, w_n +2/3*hf(t_n,w_n))]$$

Pregunta: ¿Es el método de Heun numéricamente estable para cualquier elección de tamaño de paso $h$ ? ¿Por qué o por qué no?

Supongo que hay que calcular la región de estabilidad para la que después de aplicarla a la ecuación de prueba $y' = ky$ Lo tengo: $$y_{n+1} = (1+kh+0.5(kh)^2)y_n$$

por lo que la región de estabilidad es para $z = kh$ $$|(1+z+0.5z^2)| \leq1$$ Estoy atascado desde aquí. ¿Cómo puedo encontrar los valores $h$ para el que se satisface esta desigualdad? Creo que no entiendo muy bien la estabilidad de A. Creo que hay que tomar Re( $k$ ) < 0 y resuelve bien? Tengo que el método es estable para $0<z<2$ pero siento que esto está mal. ¿Puede alguien arrojar algo de luz?

Answer 1

EDITAR: Podemos reescribir $1+z+0.5z^2$ a $0.5(z+1)^2+0.5$ completando el cuadrado. Como la función es siempre positiva, podemos eliminar el valor absoluto, lo que lleva a $0.5(z+1)^2+0.5\leq 1$ . Esto equivale a $\lvert z+1\rvert\leq1$ . Esto da $z\leq0$ y $z\geq -2$ .

Entonces, el intervalo de estabilidad es $$\mathrm{SI}=[-2,0].$$ Los valores de $h$ el método es estable para depende de la EDO. Hay que calcular los valores propios $\lambda_i$ de la matriz de Jacobi $f_x(t,x)$ del lado derecho de la EDO. Entonces el método es estable si $\lambda_i h\in \mathrm{SR}$ donde $\mathrm{SR}$ es la región de estabilidad. Tenga en cuenta que esto es sólo una aproximación. No tiene por qué ser cierta para todas las EDO, pero funciona la mayor parte del tiempo (al menos si $f_x(t,x)$ es diagonalizable).

Un método se llama A-estable si el semiplano izquierdo completo $\{z\in\mathbb C\setminus\{0\} : \Re(z)\leq0\}$ está contenida en la región de estabilidad $\mathrm{SR}$ . Esto asegura que nuestro método numérico caiga en cero como nuestra solución a la ecuación de prueba. Los métodos estables en A, como la regla trapezoidal, se utilizan para problemas rígidos en los que otros métodos necesitarían tamaños de paso muy pequeños o explotarían para $t\to\infty$ .