integral analítica

Question

Sé que esta integral se evalúa a 1 utilizando técnicas numéricas. ¿Puede hacerse analíticamente?

$$ \int_{-\frac{1}{2}}^\infty \frac{2}{\sqrt{2y+1}\sqrt{2 \pi}} \exp \left( -y-\frac{1}{2} \right) dy $$

Answer 1

$$ u=y+\frac12, \qquad du=dy,\qquad 2y+1=2u $$ $$ \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1/2}^\infty \frac{1}{\sqrt{2y+1}} e^{-(y+(1/2))} \, dy = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2u}} e^{-u}\,du = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u}\,du. $$

La función Gamma es $$ \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty u^{\alpha-1} e^{-u} \, du $$ y su valor en $\alpha=1/2$ es la integral anterior. Es bien sabido que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ . No me sorprendería que la forma en que se prueba ya sea una respuesta existente en stackexchange. Si no es así, tal vez deberíamos ponerlo aquí.

Por lo tanto, el valor que se busca es $1$ .