Excelentes explicaciones matemáticas

Question

En el En la Enciclopedia Stanford de Filosofía hay una entrada sobre la explicación matemática.

La cuestión filosófica básica es: ¿qué hace que una prueba sea explicativa?

Se mencionan dos "modelos" principales de explicación matemática:

1) El modelo de Steiner, que afirma que una prueba explicativa puede distinguirse de una prueba no explicativa si sólo la prueba explicativa contiene una llamada "propiedad caracterizadora", que es (aproximadamente) una propiedad única para una entidad o estructura particular en una familia de estructuras. Aquí "familia" se toma como primitiva. (Para una descripción más completa, siga el enlace anterior).

2) El modelo de Kitcher, que afirma que una prueba es explicativa si proporciona una unificación de métodos dispares. (De nuevo, siga el enlace para una discusión más completa).

Los filósofos de las matemáticas no encuentran ninguno de estos modelos adecuados. Los relatos filosóficos anteriores sobre la explicación matemática proceden de arriba abajo, pero en cada caso ha sido posible encontrar buenos ejemplos de explicaciones matemáticas que no encajan. Citando la entrada enlazada más arriba:

Trabajos recientes han demostrado que puede ser más fructífero proceder de abajo a arriba, proporcionando primero una buena muestra de estudios de casos antes de proponer un único modelo abarcador de explicación matemática.

Confieso que últimamente no he podido averiguar cómo hacer una buena pregunta de "filosofía de la práctica matemática" aquí en MO, así que este es mi intento de hacerlo. Creo que podemos proporcionar a los filósofos (y entre nosotros) un almacén de pruebas que también son excelentes explicaciones, y razonar por qué lo pensamos. Si esto funciona, puedo enviar el enlace a Paolo Mancosu como un gesto de buena voluntad hacia los filósofos que estudian la práctica matemática contemporánea.

Por favor, ofrezca un ejemplo de una prueba explicativa excelente, y la razón por la que cree que la prueba también proporciona una buena explicación del fenómeno que trata.

Como los filósofos buscan casos prácticos, creo que bastará con un enlace a la prueba en cuestión (si la prueba no es corta). Estoy seguro de que se puede contactar con usted más tarde para explicarlo.

(Todavía no estoy seguro de si el lenguaje filosófico es apropiado para MO, pero la pregunta anterior tiene un valor claro y admitirá respuestas matemáticas precisas).

Answer 1

Mi analogía para una explicación la relaciona con la explicación del camino a la estación: usted describe el paisaje general del camino, no cada grieta del pavimento. Se asume una determinada estructura conocida, o un tipo de estructura. (Por ejemplo: girar a la izquierda en el semáforo, luego a la derecha en la oficina de correos.) Sí llamas la atención sobre cualquier hueco importante en el camino.

En matemáticas a menudo tenemos que inventar las estructuras que hacen que las ideas sean claras. Escuché a Raoul Bott en 1958 decir de Grothendieck que estaba dispuesto a trabajar muy duro para hacer una demostración tautológica. Grothendieck estaba muy interesado en comprender los procesos y las formas subyacentes.

Una importancia de esto es para la ayuda computacional: nos gustaría que los ordenadores se ocuparan de los diversos niveles jerárquicos en la práctica matemática, y que no tuvieran que buscar una prueba utilizando un nivel bajo de estructura.

Answer 2

Según mi experiencia, se puede estudiar una gran cantidad de matemáticas (teoría de grupos y teoría de números) antes de encontrar la idea de que la ley de reciprocidad cuadrática tenga algo que ver con la firma de una permutación. La reciprocidad cuadrática es tan fácilmente un agujero negro - funciona, pero ¿por qué?

Se trata de una conexión tan hermosa, que se presta de forma tan natural a pensar "cómo podría generalizar eso" a medida que avanza la vida; ojalá lo hubiera sabido antes de lo que lo hice.

Answer 3

A continuación, una idea de lo que hace que una prueba sea explicativa. Supongo que es similar a la idea de Steiner, pero no idéntica. Sin embargo, creo que la cualidad de ser explicativa no es algo claramente definible, sino que es una función de varias cosas dispares. ¿Qué hace que la gente esté satisfecha con una explicación (de cualquier cosa)? Depende del contexto, varía de una persona a otra y ni siquiera depende de la corrección (la gente puede estar satisfecha con explicaciones incorrectas e insatisfecha con las correctas).

Usted (supongo) tiene algún modelo mental de situaciones similares a la que está probando algo. Si una prueba te da resultados de los que te puedes dar cuenta inmediatamente sobre las situaciones similares, entonces es explicativa (por ejemplo, que X, que es verdadera para tu situación inicial A, puede ser / no puede ser verdadera para la situación similar B - un largo cálculo no dará esta realización inmediata hasta que lo lleves a cabo). Así, la propiedad de ser explicativa depende de tu propio poder de manipulación formal y de razonamiento -- lo que puedes realizar inmediatamente -- y tu modelo de lo que son las situaciones similares.

Por ejemplo, hay filtros de imagen que implican secuencias de cálculos matriciales que resaltan los bordes superiores de los objetos de la imagen. Una prueba de esto es trivial, dada una imagen -- sólo hay que calcular. Sin embargo, no es explicativa porque no se sabe inmediatamente, a partir de la prueba computacional, que funcionaría en otra imagen (otras imágenes constituyen nuestro modelo de situaciones similares).

Por otro lado, una prueba de que un filtro invierte los colores en una imagen concreta podría ser fácilmente explicativa, porque se puede dar como lema que el filtro invierte el color de cualquier píxel. Entonces se puede ver que cualquier otra imagen será invertida por el mismo filtro.