Excelentes explicaciones matemáticas

Question

En el En la Enciclopedia Stanford de Filosofía hay una entrada sobre la explicación matemática.

La cuestión filosófica básica es: ¿qué hace que una prueba sea explicativa?

Se mencionan dos "modelos" principales de explicación matemática:

1) El modelo de Steiner, que afirma que una prueba explicativa puede distinguirse de una prueba no explicativa si sólo la prueba explicativa contiene una llamada "propiedad caracterizadora", que es (aproximadamente) una propiedad única para una entidad o estructura particular en una familia de estructuras. Aquí "familia" se toma como primitiva. (Para una descripción más completa, siga el enlace anterior).

2) El modelo de Kitcher, que afirma que una prueba es explicativa si proporciona una unificación de métodos dispares. (De nuevo, siga el enlace para una discusión más completa).

Los filósofos de las matemáticas no encuentran ninguno de estos modelos adecuados. Los relatos filosóficos anteriores sobre la explicación matemática proceden de arriba abajo, pero en cada caso ha sido posible encontrar buenos ejemplos de explicaciones matemáticas que no encajan. Citando la entrada enlazada más arriba:

Trabajos recientes han demostrado que puede ser más fructífero proceder de abajo a arriba, proporcionando primero una buena muestra de estudios de casos antes de proponer un único modelo abarcador de explicación matemática.

Confieso que últimamente no he podido averiguar cómo hacer una buena pregunta de "filosofía de la práctica matemática" aquí en MO, así que este es mi intento de hacerlo. Creo que podemos proporcionar a los filósofos (y entre nosotros) un almacén de pruebas que también son excelentes explicaciones, y razonar por qué lo pensamos. Si esto funciona, puedo enviar el enlace a Paolo Mancosu como un gesto de buena voluntad hacia los filósofos que estudian la práctica matemática contemporánea.

Por favor, ofrezca un ejemplo de una prueba explicativa excelente, y la razón por la que cree que la prueba también proporciona una buena explicación del fenómeno que trata.

Como los filósofos buscan casos prácticos, creo que bastará con un enlace a la prueba en cuestión (si la prueba no es corta). Estoy seguro de que se puede contactar con usted más tarde para explicarlo.

(Todavía no estoy seguro de si el lenguaje filosófico es apropiado para MO, pero la pregunta anterior tiene un valor claro y admitirá respuestas matemáticas precisas).

Answer 1

Para sus fines, puede ser mejor exponer pares de pruebas del mismo resultado, una de las cuales se considera "más explicativa" que la otra.

• El primer ejemplo que me viene a la mente es el conjetura de la matriz de signo alterno para lo cual la prueba de Kuperberg es ampliamente considerada como "más explicativa" que la prueba original de Zeilberger, altamente computacional.

• Seguro que hay ejemplos de la teoría de Lie o de la teoría de grupos finitos en los que algún resultado se demuestra primero invocando un teorema de clasificación y comprobando cada caso por separado, y luego alguien encuentra una demostración uniforme que no depende de la clasificación. Por desgracia, no se me ocurre ningún ejemplo concreto.

En general, tengo la sensación de que las pruebas que implican cálculos largos y formales sin una idea rectora, o que implican la comprobación exhaustiva de un gran número de casos dispares, se consideran no explicativas, poco esclarecedoras y feas.

Por último, creo que ciertas pruebas sin palabras serían consideradas por muchos como excelentes explicaciones.

Answer 2

Bill Thurston's Geometría y topología tridimensional, volumen 1 (Ed. Silvio Levy) contiene muchos ejemplos. He aquí uno. En la página 74, comienza con "Algunos cálculos en el espacio hiperbólico", y con esta visión general:

En última instancia, lo que buscamos cuando estudiamos matemáticas es una comprensión cualitativa. Pero las manipulaciones precisas y cuantitativas -la esencia de las matemáticas- son también son importantes como forma de alcanzar este fin y como prueba de que nuestra comprensión cualitativa es correcta.

A continuación, prosigue con diez páginas de ejemplos y cálculos antes de llegar a

Proposición 2.4.12 (triángulos ideales). Todos los triángulos ideales son congruentes y tienen área $\pi$ .

a lo largo del camino demostrando la ley esférica de los cosenos:
          

Answer 3

Para los ejemplos destacados de pruebas explicativas me remito a Arquímedes, Euler (obras completas), y el libro de Kepler, Estereometría de los barriles de vino. (Menciono sólo un libro de Kepler, porque es el único para el que he podido encontrar una buena traducción del alemán a un idioma que puedo leer y disfrutar).

Entre los ejemplos más recientes, mencionaría la obra de Pierre Fatou, Sur les equations fonctionnelles. Se pueden dar más ejemplos del siglo XX, pero no quiero incluir una larga lista.

La característica común de estos escritos es que sus autores explican cómo han llegado a sus resultados, no sólo los resultados finales en sí. En mi opinión, es esta característica la que hace que una prueba sea realmente explicativa. Por desgracia, este estilo de escritura es cada vez más raro.

Answer 4

Creo que lo explicativo es un concepto de grupo: una prueba es explicativa cuando afecta a un grupo de lectores de tal manera que pueden explicar la explican la prueba a otros después de haberla leído. Puede que haya una forma más filosófica filosófica, pero dejar el concepto en manos de un individuo es un error es un error práctico.

Como ejemplo, ofrezco el teorema de compacidad para la lógica de primer orden: un conjunto de oraciones tiene un modelo si y sólo si cada subconjunto finito de ese conjunto tiene un modelo. Se pueden consultar varias fuentes para obtener el significado completo y el impacto del teorema y los conceptos subyacentes, y luego pasar por detalles técnicos en muchas de las pruebas, pero voy a ofrecer una pista explicativa: las pruebas son finitas. Esto se utiliza como mnemotecnia para la parte de los retos: si el conjunto no tiene un modelo, hay una prueba (finita) de contradicción, que sugiere la sub-secuencia finita apropiada que hay que elegir como subconjunto sin modelo. Invito a la parte de lógica matemática parte de la lógica matemática de la comunidad de MathOverflow a mejorar esto en una ejemplo de prueba explicativa.

Gerhard "Hacer la redacción cuesta más" Paseman, 2012.12.18

Answer 5

Había una tesis interesante sobre el análisis del lenguaje natural utilizado en la escritura de las matemáticas, que parece un poco relevante para esta discusión. La tesis ya no está en línea, pero hay algo de información sobre ella aquí: http://people.ds.cam.ac.uk/mg262/

Olvidé de dónde saqué ese enlace, pero fue en otro hilo de MO hace tiempo.