Es $\left\{x\mid x\text{ is a countable set}\right\}$ ¿un juego?

Question

Encontré esta pregunta en un examen:

Es $\left\{x\mid x\text{ is a countable set}\right\}$ ¿un juego?

Estamos trabajando en ${\sf ZFC}$ .

Answer 1

Si existiera el conjunto de todos los conjuntos contables, entonces, por el axioma de las uniones, existiría la unión de todos los conjuntos contables. Eso sería todo el universo, ya que todo pertenece a algún conjunto contable, por ejemplo, $x\in\omega\cup\{x\}$ . Pero no existe un conjunto universal; para cada conjunto $S$ el conjunto $\{x\in S:x\notin x\}$ no pertenece a $S$ .

Answer 2

Si $T_1=\lbrace x \mid x \text{ is countable} \rbrace$ es un conjunto, por lo que es $T_2=\lbrace x \mid x \text{ is a singleton} \rbrace$ por el axioma de los subconjuntos, también lo es $T_3=\lbrace x \mid x \text{ is a set} \rbrace$ por el axioma de la sustitución, pero es bien sabido que $T_3$ no es un conjunto( si lo fuera, por el axioma de los subconjuntos podríamos formar $T_4=\lbrace x \mid x\not\in x\rbrace$ y esto sería La paradoja de Russell ).

Answer 3

Este axioma

sólo puede aplicarse en la forma $$ \{x \in X \colon x \text{ is countable}\} $$ para un conjunto determinado $X$ . Así que lo que das no es una definición válida para un conjunto.

Sin embargo, esto no demuestra por sí mismo que no exista un conjunto con la propiedad que has indicado (es decir, que contenga todos los conjuntos contables).