Múltiples definiciones de Semirings

Question

Actualmente estoy estudiando para mi examen de álgebra y me encontré con la definición de un semiring. Leyendo varios libros a la vez para entender mejor las definiciones y los ejemplos me encontré con diferentes definiciones de semirings.

1. Un conjunto $A$ con dos operaciones binarias $+$ y $\cdot$ se llama semirrecta si
   • $(A, +)$ es un semigrupo conmutativo:
     • $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $a + b = b + a$ para todos $a,b \in A$
   • $(A, \cdot)$ es un semigrupo:
     • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
   • La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
     • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$

Esta es la definición más "débil" que he encontrado y es de Udo Hebisch, Hanns J. Weinert: Semirings: Algebraic Theory and Application in Computer Science (alemán - Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik) ISBN 3-519-02091-2

No requiere un elemento de identidad $0$ o un elemento de identidad 1 y no requiere $0$ para ser absorbente.

¿Cuál sería un ejemplo de esa definición?

2. Un conjunto $A$ con dos operaciones binarias $+$ y $\cdot$ se llama semirrecta si
   • $(A, +)$ es un monoide conmutativo:
     • $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $0 + a = a + 0 = a$ para todos $a \in A$
     • $a + b = b + a$ para todos $a,b \in A$
   • $(A, \cdot)$ es un semigrupo:
     • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
   • La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
     • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$

Esto es básicamente el siguiente paso añadiendo un elemento de identidad $0$ a los requisitos que amplían el semigrupo conmutativo $(A, +)$ a un monoide conmutativo. He encontrado esta definición en mis notas de clase de mi curso de álgebra.

¿Cuál sería un ejemplo de esa definición?

3. Un conjunto $A$ con dos operaciones binarias $+$ y $\cdot$ se llama semirrecta si
   • $(A, +)$ es un monoide conmutativo:
     • $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $0 + a = a + 0 = a$ para todos $a \in A$
     • $a + b = b + a$ para todos $a,b \in A$
   • $(A, \cdot)$ es un monoide:
     • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ para todos $a \in A$
   • La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
     • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$

Esta es también una definición que he visto que añade el requisito de un elemento de identidad $1$ . Esto lleva a $(A, \cdot)$ siendo también un monoide (aunque no conmutativo). Ni siquiera recuerdo si he visto esa definición en algún sitio o si me la he inventado, pero lo más probable es que sea del libro mencionado anteriormente.

¿Cuál sería un ejemplo de esa definición?

4. Un conjunto $A$ con dos operaciones binarias $+$ y $\cdot$ se llama semirrecta si
   • $(A, +)$ es un monoide conmutativo:
     • $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $0 + a = a + 0 = a$ para todos $a \in A$
     • $a + b = b + a$ para todos $a,b \in A$
   • $(A, \cdot)$ es un semigrupo:
     • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
   • La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
     • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
   • La multiplicación por 0 aniquila a R:
     • 0a = a0 = 0

Esta definición elimina el elemento de identidad 1 reduciendo de nuevo $(A, \cdot)$ volver al semigrupo de nuevo. Es la primera vez que veo el requisito de $0$ para ser absorbente, lo que tiene sentido porque $0a = 0$ no se sostiene en los semigrupos. He encontrado esta definición también en el libro mencionado anteriormente donde se llama "Hemiring".

¿Cuál sería un ejemplo de esa definición?

5. Un conjunto $A$ con dos operaciones binarias $+$ y $\cdot$ se llama semirrecta si
   • $(A, +)$ es un monoide conmutativo:
     • $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $0 + a = a + 0 = a$ para todos $a \in A$
     • $a + b = b + a$ para todos $a,b \in A$
   • $(A, \cdot)$ es un monoide:
     • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ para todos $a \in A$
   • La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
     • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
     • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in A$
   • La multiplicación por 0 aniquila a R:
     • 0a = a0 = 0

Básicamente la misma definición que en $3.$ pero con el requisito de que $0$ está absorbiendo. Esto también tiene sentido ya que $0a = 0$ tampoco se cumple en los monoides generales. He encontrado esta definición en la página web de la Wikipedia en inglés, que era con mucho la definición más "fuerte" en términos de requisitos.

¿Cuál sería un ejemplo de esa definición?

No estoy buscando el verdadero definición ya que no existe para los semirings pero si hay tantas definiciones con diferentes requisitos tiene que haber ejemplos para cada una de ellas.

Así que, básicamente, estoy buscando ejemplos que sólo cumplan con los requisitos de las definiciones establecidas y no más porque, entonces, ¿qué sentido tendría definir un semirremolque de una manera específica?

Answer 1

Ejemplo para 1): $(\{n\in\mathbb N|n>0\},+,\cdot)$

Ejemplo para 2): $(\mathbb N,+,\cdot)$

En 3), dijiste que el monoide multiplicativo no es necesariamente conmutativo, y sin embargo escribiste el axioma. Asumiré que te olvidaste de quitarlo. También parece que quieres explícitamente algo con un $0$ . Ejemplo para 3): El mejor ejemplo que conozco con el cero no absorbente es el que di aquí pero también es conmutativo. Me temo que no puedo hacer nada mejor que eso en este momento.

Ejemplo para el 4): Se podría utilizar simplemente $(\{n\in\mathbb N|n\neq 1\},+,\cdot)$

Ejemplo para 5): $\mathbb N\langle x, y\rangle$ un semirremolque polinómico con variables no conmutativas $x,y$ con coeficientes de $\mathbb N$ .

La bibliografía sobre este tema es un poco confusa. La gente utiliza estas estructuras de muchas maneras diferentes. En mi experiencia, la definición más común es requiere una identidad absorbente para $+$ y una identidad para $\cdot$ .

Los recursos que más he utilizado sobre este tema son

Gondran, M., & Minoux, M. (2008). Graphs, dioids and semirings: new models and algorithms (Vol. 41). Springer Science & Business Media.

Golan, Jonathan S. Semirings and their Applications. Springer Science & Business Media, 2013.

El primero es especialmente detallado en cuanto a las combinaciones de axiomas.