Dejemos que $M$ sea un topológico $n$ -manifiesto, cerrado y conectado (no necesariamente orientado):
¿Cuándo $M$ no admiten (hasta el tipo de homotopía) una estructura CW con un único $n$ -¿Célula?
Por clasificación de las superficies suponemos $n>2$ . Por la existencia de estructuras suaves suponemos $n>3$ . En particular, si $M$ es suavizable, entonces la teoría de Morse nos proporciona la estructura deseada.
[[Editar]]: Para contextualizar esta cuestión, tenemos varias formas de demostrar que $H_{n-1}(M)$ tiene $0$ o $\mathbb{Z}_2$ como su subgrupo de torsión en función de la orientabilidad. Una forma, cuando $M$ es un complejo CW de este tipo, es mirar rápidamente la diferencial del complejo de la cadena $d:C_n(M)\cong\mathbb{Z}\to C_{n-1}(M)$ y observe que $H_n(M)\cong\mathbb{Z}$ para $M$ orientable y $H_n(M;\mathbb{Z}_2)\cong\mathbb{Z}_2$ de lo contrario. Así que me gustaría ver para qué clase de variedades es válido este argumento.
[[Adenda]]: Después de charlar con Allen Hatcher y Rob Kirby, que reafirman los comentarios de abajo, aquí están sus pensamientos resultantes:
1) Debemos tener cuidado con el teorema Kirby de $M$ siendo homotópico-equivalente a un complejo finito, porque este complejo se obtiene incrustando primero $M$ en $\mathbb{R}^N$ y, a continuación, se menea el límite de una vecindad tubular ( $M\times D^{N-n}$ ) de $M$ para ser PL, y así el complejo resultante podría tener $i$ -células con $i>n$ .
2) Cuando $\dim M\ne 4$ hay una descomposición del cuerpo de la manija, y esto se puede arreglar para tener un solo 0-manija (la cancelación de los otros 0-manijas con 1-manijas disponibles - podemos hacer esto porque no hay obstrucciones de suavizado en una vecindad del 3-esqueleto). Tomando el cuerpo de asa dual, tenemos una descomposición con un solo n-mango. Pasando de la descomposición del cuerpo de asas a la descomposición CW (reduciendo todo a sus núcleos), obtenemos el complejo CW deseado con una sola n-celda.
3) Cuando $\dim M=4$ entonces existe una descomposición del cuerpo de la manija si y sólo si $M$ es suavizable. Así que cuando $M$ es suavizable podemos aplicar el argumento de (2).
4) Pero incluso cuando $M$ no es suave obtenemos algunos resultados positivos, en particular para el $E_8$ múltiple. Construimos $E_8$ utilizando el cálculo de Kirby en un diagrama de 8 enlaces, dando una descomposición de $E_8$ en un asa 0 más ocho asas 2 más un trozo contraíble (sin el trozo contraíble obtenemos un espacio cuyo límite es una homología de 3 esferas, es decir, la esfera de Poincare $S^3/G$ con $G=$ grupo icosaédrico binario). En particular, volteando esta estructura vemos que $E_8$ es homotópico-equivalente a un complejo CW con una sola célula 4. Además, la observación de Lennart Meier nos lleva a todos los demás 4manifolds simplemente conectados.
Así pues, nos quedamos con la hipótesis de que $M$ (hasta la homotopía) es una 4manifold cerrada no simplemente conectada y no suavizable. (que los comentarios de abajo afirman)
