¿Por qué se llama así el valor esperado?

Question

Entiendo cómo obtenemos 3,5 como valor esperado para lanzar un dado justo de 6 caras. Pero intuitivamente, puedo esperar cada cara con igual probabilidad de 1/6.

Entonces, ¿el valor esperado de lanzar un dado no debería ser cualquiera de los números entre 1-6 con igual probabilidad?

En otras palabras, a la pregunta "¿cuál es el valor esperado de lanzar un dado justo de 6 caras?", uno debería responder "oh, puede ser cualquier cosa entre 1-6 con igual probabilidad". En cambio, es 3,5.
Intuitivamente en el mundo real, ¿alguien puede explicar cómo 3,5 es el valor que debo esperar al lanzar un dado?
De nuevo no quiero la fórmula o la derivación para la expectativa.

Answer 1

Imagine que se encuentra en París en 1654 y que usted y su amigo observan un juego de azar basado en el lanzamiento secuencial de un dado de seis caras. Ahora bien, el juego es muy ilegal y las redadas de la gendarmería son bastante frecuentes, y ser sorprendido en una mesa con montones de libras es garantía casi segura de una larga estancia en el Chateau d'If.

Para evitar esto, usted y su amigo tienen un acuerdo de caballeros sobre una apuesta hecha entre los dos antes de la última tirada del dado. Él se compromete a pagarte cinco libras si observas dos seises en las próximas cinco tiradas de dados, y tú te comprometes a pagarle la misma cantidad si salen dos unos, sin que haya ninguna otra acción si no salen estas combinaciones.

Ahora, la última tirada es un seis, así que estás al borde de tu asiento, figurativamente. En ese momento, unos guardias fuertemente armados irrumpen en la guarida y arrestan a todos los presentes en la mesa, y la multitud se dispersa.

Su amigo cree que la apuesta hecha entre los dos queda invalidada. Sin embargo, tú crees que debería pagarte alguna cantidad, ya que ya se ha sacado un seis. ¿Cuál es la forma justa de resolver esta disputa entre los dos?

(Esta es mi interpretación de los orígenes del valor esperado tal y como se presenta en aquí y se discute con más detalle aquí )

Respondamos a esta cuestión del valor razonable de forma no rigurosa. La cantidad que su amigo debe pagarle puede calcularse de la siguiente manera. Considere todas las posibles tiradas de cuatro dados. En algunas tiradas (las que contienen al menos un seis), tu amigo te pagará la cantidad acordada. Sin embargo, en otros conjuntos (es decir, los que no contienen un solo seis) no recibirás dinero. ¿Cómo se equilibra la posibilidad de que se produzcan estos dos tipos de tiradas? Sencillo, promedia la cantidad que te habrían pagado en TODAS las tiradas posibles.

Sin embargo, su amigo, (bastante improbable), aún puede ganar su apuesta. Tienes que considerar el número de veces que saldrán dos unos en los cuatro dados restantes, y promediar la cantidad que le pagarás sobre el número de todas las posibles tiradas de cuatro dados. Esta es la cantidad justa que debes pagar a tu amigo por su apuesta. Por lo tanto, la cantidad que acabas obteniendo es la cantidad que tu amigo debería pagarte, menos lo que tú deberías pagarle a tu amigo.

Por eso lo llamamos "valor esperado". Es la cantidad media que esperas recibir si eres capaz de simular un evento que ocurre en múltiples universos simultáneos.

Answer 2

Excelente pregunta. Es más sutil de lo que parece al principio. Tiene que ver con la evento aleatorio y variable aleatoria (número, valor). Tu confusión se debe a la mezcla de estos dos conceptos relacionados pero distintos.

Empecemos con un evento. Por la forma en que has formulado tu pregunta, parece que consideras que el resultado de una tirada de dados es un suceso. Es aleatorio, por lo que puedes obtener una de sus seis caras con igual probabilidad, como has escrito. Esto tiene mucho sentido.

¿Cuál es el valor esperado de este experimento? Las expectativas se definen para variables aleatorias (valores), no para eventos. Para ti los números del 1 al 6 en el dado son simplemente las formas de distinguir sus caras (en el contexto de la formulación de tu pregunta). Imagina que en lugar de eso utilizas letras: A, B, C, D, E y F. Sustituye los números por letras y repite tu pregunta como sigue:

En otras palabras, ante la pregunta "¿cuál es el valor esperado de lanzar un dado justo de 6 caras", uno debería responder "oh, puede ser cualquier cosa entre A y F con la misma probabilidad".

Ahora trata de obtener un valor esperado. No está definido.

Las expectativas aparecen cuando se definen los valores aleatorios, como por ejemplo del 1 al 6. Se asignan los valores al espacio de eventos, por ejemplo, se define que el lado A es 1, el lado B es 2, etc. Ahora tienes 6 números y puedes calcular la expectativa, que resulta ser 3,5.

Answer 3

"Cada uno de los valores es igualmente probable", o "algún valor es más probable" es la definición de modo, no de valor esperado.

Imagina que estamos jugando a lanzar una moneda. Cada vez que yo lance cara, te doy 1 \$, each time I toss tails, you give me 1\$ . Cuánto dinero le costaría esperar ganar o perder a largo plazo ? Las cantidades son iguales, las probabilidades de lanzarlas son iguales, el valor esperado es cero.

Answer 4

El valor esperado se llama así porque si se hace una media de todas las tiradas de dados se esperar para conseguir esto valor esperado en el largo recorrido . El valor esperado no está relacionado con ninguna tirada de dados.

Answer 5

Desde un punto de vista histórico, el concepto parece aparecer en diferentes países, por lo que consideraría el uso de esta palabra como un convergencia conveniente entre conceptos similares en las distintas lenguas.

Mi punto de partida fue el excelente Primeros usos de los símbolos en probabilidad y estadística :

Expectativa. En el conocido libro de texto Choice and Chance (quinta edición) de W. A. Whitworth, de 1901, se utilizó una gran letra E para la expectativa, pero ni el símbolo ni el cálculo de expectativas se establecieron en la literatura inglesa hasta mucho después. Por ejemplo, Rietz Mathematical Statistics (1927) utilizó el símbolo E y comentó que "el valor esperado de la variable es un concepto que ha sido muy utilizado por varios escritores europeos continentales..." Para los escritores europeos continentales, E significaba "Erwartung" o " expectativa (nota del editor: matemáticas) ."

El término se "atribuye" a veces a Huyghens, que se discute en Fundamentos de la probabilidad de Huygens :

Se acepta generalmente que Huygens basó la probabilidad en la expectativa. Sin embargo, el término "expectativa" procede de la traducción al latín que hizo Van-Schooten del tratado de Huygens. Una traducción literal del texto neerlandés de Huygens muestra más claramente lo que Huygens quería decir realmente y cómo y cómo procedió.

Se pueden encontrar detalles adicionales con respecto a Fermat, Pascal en La expectativa y los primeros probabilistas .