Si tengo dos variables aleatorias $X_1$ y $X_2$ con $X_1\sim N(520,10)$ y $X_2\sim N(500,10)$ y $X_1$ , $X_2$ son las dos velocidades de los aviones en las que el primero va 10 km por delante del segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo avión no haya alcanzado al primero después de $2$ horas. Sé que podemos modelar esto diciendo $P(X_1-X_2\le -10)$ y las soluciones sugieren utilizar la distribución de $X_1-X_2$ para ser $\sim N(40,20)$ . ¿Por qué la nueva desviación estándar $20$ ? Antes de tener en cuenta el $2$ hora de paso la desviación estándar habría sido $14.14$ .
Respuestas
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El $20$ tiene elementos de conjetura. Deje que $U_1$ sea la distancia recorrida por el primer avión en la primera hora, y $V_1$ la distancia recorrida por el mismo avión en la segunda hora. Tenga en cuenta que $U_1$ y $V_1$ tienen la misma distribución que $X_1$ .
Dejemos que $T_1$ sea la distancia total recorrida por el avión en $2$ horas. Entonces $T_1=U_1+V_1$ . Definir $U_2,V_2, T_2$ análogamente.
Si hacemos la suposición poco razonable de la independencia entre $U_1$ y $V_1$ entonces la varianza de la suma $U_1+V_1$ es la suma de las varianzas, y por tanto la varianza de $T_1$ es $200$ .
El mismo argumento da $200$ como la varianza de $T_2$ .
La varianza de $T_1-T_2$ es, asumiendo la independencia, $(1)^2\text{Var}(T_1)+(-1)^2\text{Var}(T_2)$ . Esto es $400$ , dando una desviación estándar $20$ .
Observación: Hemos asumido implícitamente que la varianza de las velocidades de los aviones se ha calculado cronometrando el avión sobre $1$ trozos de una hora. Pero realmente no sabemos cómo la varianza de $100$ se llegó a la misma. La respuesta anterior es una "justificación" de la elección de $20$ para la desviación estándar de la diferencia $T_1-T_2$ de las distancias totales recorridas en $2$ horas. Como se ha señalado, tiene una suposición de independencia poco plausible. La independencia de $X_1$ y $X_2$ también es algo inverosímil, ya que ambos aviones están sometidos a condiciones meteorológicas similares.
da Boss
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Dejemos que la desviación estándar del $X_i$ sea dado como $10$ . Nótese que buscamos la probabilidad de $2X_1 - 2X_2 > -10$ .
Por linealidad, $\Bbb E(2X_1 - 2X_2) = 2\Bbb E(X_1) - 2\Bbb E(X_2) = 40$ .
También asumiendo la independencia,
$\Bbb V(2X_1 - 2X_2) = 4 \Bbb V(X_1) + 4\Bbb V(X_2) = 800$ Así que $\sigma(2X_1 - 2X_2) = 20\sqrt{2}$
Por lo tanto, buscamos la probabilidad de $N(40, 20\sqrt{2}) > -10$ .
