Cómo encontrar a $\zeta(0)=\frac{-1}{2}$, por definición?

Question

Me gustaría saber cómo podemos encontrar el siguiente resultado:

$$\zeta(0)=-\frac12$$

Hay una manera, utilizando la definición, $$\zeta(s)=\sum_{i=1}^{\infty}i^{-s}$$

para encontrar esto?

Answer 1

Considere la integral $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{xt^{x-1}}{e^t+1}\mathrm{d}t &=\int_0^\infty\frac{xt^{x-1}}{1+e^{-t}}e^{-t}\;\mathrm{d}t\\ &=x\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-kt}\;\mathrm{d}t\\ &=x\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}k^{-x}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\;\mathrm{d}t\\ &=x\eta(x)\Gamma(x)\\ &=(1-2^{1-x})\zeta(x)\Gamma(x+1)\tag{1} \end{align} $$ Integrar por partes para obtener $$ \begin{align} \lim_{x\to0^+}\int_0^\infty\frac{xt^{x-1}}{e^t+1}\mathrm{d}t &=\lim_{x\to0^+}\int_0^\infty\frac{t^xe^t}{(e^t+1)^2}\mathrm{d}t\\ &=\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}u}{(u+1)^2}\\ &=\frac{1}{2}\tag{2} \end{align} $$ El envío de $x$ $0$ $(1)$y la combinación con el $(2)$, obtenemos $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$.

Answer 2

La "definición de suma" converge sólo para $\Re s > 1$. Uno puede, sin embargo, el uso de la fórmula basada en la

$$\zeta(s)=\frac1{1-2^{1-s}}\sum_{n=0}^\infty \frac1{2^{n+1}}\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-s}$$

para $s=0$. Este complicado suma puede ser derivada aplicando la transformación de Euler a la serie de Dirichlet $\eta$, la alternancia de la versión de Riemann de la función.