Preguntas matemáticas cuya respuesta depende del Axioma de Elección

Question

Pregunta inspirada en la siguiente afirmación sorprendente:

El número cromático del $R^n$ hiperplano puede depender de si el axioma de elección está disponible o no.

http://shelah.logic.at/files/E33.pdf

Ver más sobre el problema del número cromático (Hadwiger-Nelson):

http://en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger%E2%80%93Nelson_problem

¿Hay alguna afirmación interesante que no sea artificial (como teoremas conocidos) cuya veracidad dependa críticamente del axioma de elección y que se desmorone por completo (o la respuesta cambie) si se elimina el AC?

Answer 1

Por supuesto:

1. Existe un ultrafiltro gratuito.
2. Existe un conjunto no medible de Lebesgue.
3. Existe un conjunto no Borel.
4. Las uniones contables de conjuntos contables son contables.
5. Los números reales no son una unión contable de conjuntos contables.
6. Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.
7. Todo espacio vectorial tiene una base de Hamel.
8. Todo campo tiene un cierre algebraico, y es único hasta el isomorfismo.
9. El lema de Urysohn.
10. Todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito.
11. El producto de los espacios compactos es compacto.
12. Todo árbol de altura $\omega$ en el que cada nivel es finito tiene una rama.
13. Continuidad de una función real en $x$ es equivalente a la continuidad secuencial.
14. Teorema de Banach-Tarski.

Y así sucesivamente. Hay una infinidad de ellos.

También es relevante:

• Ventaja de aceptar el axioma de la elección
• Ventaja de aceptar conjuntos no medibles

Y libros:

1. Herrlich, H. Axioma de elección . Notas de clase de matemáticas , Springer, 2006.

2. Jech, T. El axioma de la elección . North-Holland (1973).

3. Howard, P. y Rubin, J.E. Consecuencias del axioma de la elección . American Mathematical Soc. (1998). Consulte también la base de datos en línea del libro .

4. Moore, G. H. Axioma de elección de Zermelo . Springer-Verlag (1982).

Answer 2

Yo diría que el teorema de Banach-Alaoglu es otro ejemplo (BA : la bola unitaria del dual de un espacio de Banach es débilmente-* compacta).

En el caso muy común de que el espacio sea también separable, el axioma de elección no es necesario, pero hay espacios que no son separables (por ejemplo, $L^\infty(\mu)$ ). Así que (aunque sea un poco exagerado), si tienes un espacio de probabilidad $(\Omega, \mu)$ sin topología natural localmente compacta, y lo suficientemente complicada como para que $L^\infty(\mu)$ no es separable, entonces se necesitaría el axioma de elección para extraer subsecuencias convergentes débiles-* de una secuencia de formas lineales acotadas en $L^\infty(\mu)$ .