¿Cómo debo aprender de las pruebas en Matemática Aplicada?

Question

Soy consciente de que se han planteado preguntas similares aquí y en otros lugares sobre cómo aprender de las pruebas. Algunos consejos comunes son:

1. La mayoría de las pruebas están escritas de forma pulida, no como fueron descubiertas por primera vez. Mira la prueba pulida y trata de averiguar cómo se descubrió por primera vez.

2. No intentes entender una prueba línea por línea. En su lugar, intenta captar las ideas principales y retenerlas, en lugar de retener los detalles.

3. Intenta resolver la prueba por tu cuenta y utiliza la prueba del libro como pista.

4. Intenta eliminar una hipótesis cada vez y encontrar contraejemplos.

Todos estos son muy buenos consejos, y los he utilizado todos al estudiar matemáticas puras. Sin embargo, recientemente he pasado a estudiar matemáticas aplicadas, y la mayoría de las veces no puedo aplicar estas estrategias con éxito. Intentaré explicar por qué:

La matemática pura parece mucho más limpia. Por ejemplo, los teoremas de Sylow o el teorema de Heine-Borel. Sus demostraciones pueden ser muy difíciles de elaborar desde cero, pero se pueden resumir en dos o tres pasos clave y, si los recuerdas, no es difícil reproducir la demostración completa. Estos teoremas también tienen relativamente pocas hipótesis, y no es demasiado difícil encontrar contraejemplos si se eliminan ciertas hipótesis.

Las pruebas en matemáticas aplicadas son muy diferentes. En primer lugar, suelen tener muchas más hipótesis técnicas; "esto lo constata menos que $1/2$ Esta variable está limitada por esta complicada función", etc. Por lo tanto, es muy difícil (y para mí, poco esclarecedor) tratar de presentar contraejemplos que demuestren la necesidad de estas hipótesis tan específicas.

En segundo lugar, las pruebas suelen consistir en un montón de manipulaciones pesadas que son muy difíciles de recordar. En cada paso, puedes tener de 2 a 6 manipulaciones que puedes considerar: Taylor expande esto a primer orden, Taylor expande eso a segundo orden, usa la desigualdad del triángulo aquí, haz esta sustitución allí, etc. Si la prueba tiene 4-5 pasos, puede haber 20-50 caminos erróneos que podrías tomar. Esto hace que la prueba sea muy difícil de recordar y muy difícil de elaborar.

Para ilustrar mi punto de vista visualmente, aquí hay una prueba de matemáticas puras a la que estoy acostumbrado, y aquí hay una prueba típica que encuentro en las matemáticas aplicadas:

Ejemplo de prueba matemática pura:

Ejemplo de prueba matemática aplicada:

Answer 1

Si avanzara en Matemáticas Puras, también encontraría que los teoremas se vuelven más técnicos, con todo tipo de hipótesis desordenadas. Lo que se ve en las Matemáticas Puras son resultados de hace un siglo más o menos. Se han escrito muchos libros sobre ellos, y se ha dedicado mucho tiempo a limpiar los resultados y las pruebas.

Answer 2

También cabe mencionar que en el tipo de resultado que está viendo en "Matemáticas Aplicadas" (que, como ha señalado Stephen, también podría ver en "Matemáticas Puras"), el enunciado del teorema se desarrolla al mismo tiempo que la demostración.
El proceso podría ser algo así.

Nosotros queremos demostrar alguna conclusión, digamos $\lim\inf_{k \to \infty} \|g_k\| = 0$ En algunas condiciones.
¿Cuáles deberían ser esas condiciones? Por lo general, no es realista esperar una condición "si y sólo si", pero en igualdad de condiciones es mejor que nuestro teorema sea lo más ampliamente aplicable posible, y tal vez tengamos en mente algunos ejemplos que queremos que estén cubiertos. Desarrollamos un esquema de cómo podríamos esperar demostrar la conclusión para algo como nuestros ejemplos, y en el camino vemos qué condiciones deben ser verdaderas para para que esto funcione. Veamos ahora cada una de estas condiciones. ¿Podría deducirse de otra cosa? Si es así, la derivación de esa condición formará parte de la prueba. Si no, la condición se convierte en una de las hipótesis.