Actualmente estoy intentando profundizar en el cálculo multivariable y mi único escollo es la variable de integración. En el cálculo monovariable, siempre he considerado la variable de integración (en las antiderivadas) como el "respecto a qué tengo que diferenciar la respuesta para obtener el integrando". Por ejemplo, en lo siguiente:
$$\int 2x dx=x^2$$
Siempre he interpretado el dx como que tengo que diferenciar mi respuesta ( $x^2$ ) con respecto a x para obtener mi integrando ( $2x$ ). En otras palabras, tengo que tomar $\frac{d}{dx}$ de $x^2$ para conseguir $2x$ .
Sin embargo, me cuesta entender cierto concepto: la multiplicación de las variables de integración. Digamos, por ejemplo, que tengo lo siguiente:
$$\int (x -6)^2 dx$$
Si defino $u = x - 6$ puedo escribir la siguiente integral equivalente
$$\int u^2 \frac{du}{dx}dx$$
Me parece que ahora hay "múltiples" variables de integración. ¿Estoy buscando una respuesta que tengo que diferenciar con respecto a $u$ o $x$ para obtener el integrando? Esto se puede simplificar a:
$$\int u^2 du$$
Ahora, está claro que estoy buscando una función que tengo que diferenciar con respecto a $u$ para obtener mi integrando. Sin embargo, no entiendo por qué las variables de integración ( $dx$ ) puede cancelar. Entiendo que deben significar algo más que "qué tengo que diferenciar mi respuesta...." En el caso de las integrales definidas, está relativamente claro (puedo imaginarlas como pequeños cambios a lo largo de un determinado eje). Pero, con las integrales indefinidas, no se me ocurre qué representan. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.
