¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio? $$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 10$$
Como las raíces no reales vienen en pares, debe tener 4, 2 o 0 raíces reales. Siguiendo las reglas de signos de Descartes, tiene un número negativo (real) y uno o tres números positivos.
¿Cómo puedo saber si tiene 2 o 4 raíces reales?
Muchas gracias de antemano.
Como $x\to -\infty$ $f(x)\to +\infty>0$ . Y $f(-1)= -1$ así que $f(x)$ "cruza" el $x$ -eje en algún $x < -1$ . Esa es nuestra única raíz negativa.
Ahora $f(x) = x^2(x-2)^2 - 10$ . Si $x > 0$ entonces $x^2$ es estrictamente creciente y positivo y $(x-2)^2$ es estrictamente creciente y no negativo por lo que $f(x)$ es estrictamente creciente. Como $x\to \infty$ tenemos $f(x)\to +\infty$ y $f(2)=-10 < 0$ . Para algunos $x > 2$ , $f(x)$ "cruza" el eje, pero como $f(x)$ es estrictamente creciente en ese punto sólo se "cruzará" una vez y esa será nuestra última raíz.
Así que todo lo que queda es averiguar si $f(x)$ tiene cualquier raíz entre $0$ y $2$ .
pero para $0 \le 1$ tenemos $0 \le x^2 \le 1$ y $-3 \le x-2 \le -1$ y así $1\le (x-2)^2 \le 9$ y así $f(x) < 9-10 =-1 < 0$ .
Y si $1\le 2$ tenemos $1\le x^2 \le 4$ y $-1\le x-2 \le 0$ así que $0 \le (x-2)^2 \le 1$ y así $f(x) < 4-10 =-6$ .
Así que para $0\le x \le 2$ tenemos $f(x) < 0$ por lo que no hay raíces allí.
Así que hay una raíz negativa en la que $x<-1$ y una raíz positiva donde $x> 2$ .
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